数学的根本是对数学的哲学和逻辑或算法根本的研究，或从更普及的意义上讲，对有关数学性质的哲学幻想的根本举办数学查询访谒。在后一种意义上，数学根本和数学哲学之间的分辨变得相当恍忽。数学的根本可以被想象为研究根本的数学定见（集、函数、若干很多若干图形、数字等），和它们若何构成更宏壮的筹划和定见的层次筹划，不凡是构成数学言语的具有根柢次要性的筹划（公式、幻想及其模型授予公式、定义、证实、算法等意义），也称为元数学定见，着眼于数学的哲学方面和不合性。寻觅数学根本是数学哲学的中心问题；数学对象的笼统性提出了出格的哲学挑衅。

全数数学的根本真实不旨在包含每个数学主题的根本。一样往常来讲，研究局限的根本是指或多或少地琐细地分化其最根本或最根本的定见、定见不合性及其定见的天然按序或层次筹划，这大年夜大年夜约有助于将其与其别人类常识联络起来。根本的展开、展示和澄清大年夜大年夜约在一个局限的汗青中展示，大年夜大年夜约不会被全数人视为其最滑稽的部分。

数学在科学思惟中不时阐扬着出格感染，自古以来，它不时是感性试探的真谛和严谨的类型，并为其他科学（不凡是物理学）供给了对象甚至根本。19世纪，数学向高笼统学的良多展开带来了新的挑衅和悖论，鞭挞对数学真谛的性质和标准举办更深切和琐细的研究，并将数学的不合分支不合成一个邻接的集团。

对数学根本的琐细搜刮始于19世纪末，构成了一门名为数学逻辑的新数学学科，该学科后来与幻想筹算机科学有着严密严密慎密密切的联络。它经验了一系列具有自相冲突下场的危殆，直到20世纪的创作创造晃荡上往，成为一多量具有多个方面或构成部分（集结论、模型幻想、证实幻想等）的数学常识，其具体性质和大年夜大年夜约的变体还是是一个活泼的研究局限。其高程度的技能宏壮性激起了良多哲学家的料想，它可以作为其他科学根本的模型或编制。

古希腊数学

更多信息：古希腊数学

当然数学幻想之前在其他文明中展开起来，但对其幻想和根本方面的出格欢欣乐乐喜悦爱好在古希腊人的工作中不问可知。

初期的希腊哲学家对哪个更根本、算术仍是若干很多若干提出了贰言。Elea的Zeno（490-c。公元前430年）产生发火了四个悖论，似乎注解不成能改削。毕达哥拉斯数学学派最初对立认为只需天然数和有理数存在。创作创造√2的非感性，即正方形与其正面的对角线比（除夜约公元前5世纪），对他们来讲是一个震动，他们只是勉强领受了。柏拉图的师长教师Cnidus的Eudoxus（公元前408-355年）幻想下场措置了有理数和实数之间的不合，他将两个非感性比率的斗劲简化为所涉幅度倍数的斗劲。他的编制料想了理查德·感恩金（1831-1916）对实数的现代定义的切割。

在后验分化中，亚里士多德（公元前384-322年）端方了经由过程原始定见、公理、假定、定义和定理逻辑构造常识局限的公理编制。亚里士多德从算术和若干很多若干学落第了除夜部分例子。这类编制在欧几里得元素（公元前300年）中抵达了降低，这是一篇关于数学的论文，筹划特别很是严格的标准：欧几里得以三段论链的编制经由过程演示来证实每个命题是公允的（当然它们真实不老是严格屈就亚里士多德模板）。亚里士多德的三段论逻辑，和欧几里得元素所闪现的公理学编制，被认为是古希腊的科学下场。

柏拉图主义作为一种数学哲学

从19世纪末最早，柏拉图主义者对数学的不雅不雅不雅不雅不雅不雅定见在执业数学家中变得普及。

定见，或柏拉图主义者所说，数学对象是笼统的，远离往常的感知经验：若干很多若干图形被认为是与有效的画图和物体外形分辨隔来的志向，数字不会与具体物体的计数不合化。它们的存在和性质带来了出格的哲学挑衅：数学对象与其具体展示有何不合？他们位于他们的代表中，仍是在我们的脑海中，仍是其他中心？我们若何能熟谙他们？

古希腊哲学家特别很是细心肠对待这些问题。理论上，他们的良多一样往常哲学构和都是在普及参考若干很多若干和算术的气候下举办的。柏拉图（公元前424/423年-公元前348/347年）对立认为，数学对象与其他柏拉图思惟（编制或本质）一样，必须无缺笼统，在一个自力于人类的数学对象的全国中具有一种孤单的非物质存在。他认为，关于这些物体的底蕴也自力于人类的思惟而存在，可是由人类创作创造的。在《梅诺·柏拉图》中，苏格拉底的教员断言，经由过程一个近似于记忆检索的过程，可以体味这个底蕴。

在柏拉图学院的除夜门上方，展示了一个有名的铭文：“不要让任何对若干很多若干全无所闻的人进进这里”。经由过程这类编制，柏拉图表达了他对若干很多若干学的高度评价。他认为若干很多若干学是“哲学家操练中的第一个根本要素”，因为它具有笼统性。

许除夜都学家都认同柏拉图主义数学理论主义的这类哲学。[需求援引]一些作者认为，柏拉图主义不知何故成为任何数学工作的需求假定。

屈就这类不雅不雅不雅不雅不雅不雅不美不雅不雅不雅不雅念，天然律例和数学定律具有近似的职位，其有效性不再是不公允的。不是我们的公理，而是数学对象的真实全国构成了根本。

亚里士多德在他的《形而上学》等分化并回尽了这一不雅不雅不雅不雅不雅不雅不美不雅不雅不雅不雅念。这些问题为哲学分化和辩论供给了很除夜的动力。

中世纪和文艺答复

2000多年来，欧几里得的《元素》不时是数学的波动根本，因为它的感性试探编制将数学家、哲学家和科学家带领到19世纪。

中世纪看到了关于普及性本体论职位的争议（柏拉图思惟）：理论主义自力于感知断言它们的存在；定见主义只主意它们在思惟中存在；唯名论否定二者，只将普及性视为单个对象集结的称号（在更早的料想它们是单词“logoi”）。

René Descartes出版了La Géométrie（1637年），旨在经由过程坐标系将若干很多若干简化为代数，授予代数更根本的感染（而希腊人独霸长度来定义如今称为实数的数字）。笛卡尔的书在1649年后成名，为无量小微积分展平了路途。

英格兰的艾萨克·牛顿（1642年至1727年）和德国的莱布尼茨（1646年至1716年）在需求新根本的根本上自力斥地了无量小微积分。不凡是，莱布尼茨将无量小描摹为无量接近零的数字，这个定见不契合之前的数学根本框架，在20世纪之前也没无编制化。新教哲学家乔治·伯克利（1685-1753）的一本小册子说了然无量微积分对数学根本的凶悍影响，他写道：“[无量微积分]既不是无穷量，也不是无量小的量，也不是无量小的量。我们可否可以不称他们为离开数方针鬼魂？”莱布尼茨也研究逻辑，但他的除夜部分著作直到1903年才出版。

然后，数学在物理独霸中展开得特别很是灵敏和成功。

实分化

Cauchy（1789-1857）最早了以严格的编制制订和证实无量小微积分定理的项目，回尽了初期作者独霸的代数普及性的启发式绳尺。在他1821年的著作《Cours d'Analyse》中，他用收敛到0的递加序列来定义无量小的数量，然后他用它来定义延续性。但他没有正式断定他的趋同定见。

极限和延续函数的现代（ε，δ）定义最早由博尔扎诺于1817年斥地，但还是绝对未知。它为基于实数集的无量小微积分奠定了波动的根本，可以说措置了芝诺悖论和伯克利的论点。

Karl Weierstrass（1815-1897）等数学家创作创造了延续、无处可微函数等病理函数。之前将函数作为筹算轨则或滑腻图的定见不再充分。Weierstrass最早建议分化的算术化，独霸天然数的性质对分化举办公理化。

1858年，Dedekind提出了实数的定义，即有理数的剪切。康托此后来在他的集结论中集成了实数和延续函数在有理数和天然数方面的这类约简，并由希尔伯特和伯奈斯用二阶算术举办了公理化。

群论

第一次试探了数学的局限性。挪威人尼尔斯·亨里克·阿贝尔（1802-1829）和法国人埃瓦里斯特·伽卢瓦（1811-1832）研究了各类多项式方程的解，并证了然除夜于四度的方程没有通用代数解（阿贝尔-拉菲尼定理）。经由过程这些定见，Pierre Wantzel（1837）证实，仅靠直边和指南针不克不及三分肆意角度或双倍立方体。1882年，林德曼在赫米特义务的根本上建造，经由过程证实π黑色先验数，也不成能对圆的直边和指南针正交（筹划面积等于给定圆的正方形）。自古希腊时代以来，数学家不时试图措置全数这些问题，但白费无功。

Abel和Galois的作品为群论（后来用于研究物理学和其他局限的对称性）和笼统代数的展开斥地了路途。向量空间的定见从1827年Möbius对重心坐标的定见，到1888年Peano对向量空间和线性映照的现代定义。若干很多若干学不再局限于三维。这些定见没有奉行数字，而是连络了还没无编制化的函数和集结的定见，离开了熟谙的数学对象。

非欧里德若干很多若干

在多次试图从其他公理推导出平行假定损掉落踪落败后，约翰·海因里希·兰伯特（1728年至1777年）对静态假定的双曲若干很多若干的研究招致他引进了双曲函数并筹算双曲三角形的面积（个中角之和小于180°）。然后，俄罗斯数学家尼古莱·洛巴乔夫斯基（1792年至1856年）于1826年（并于1829年出版）与匈牙利数学家亚诺斯·博利亚伊（1802-1860年）和高斯平行，创建了这类若干很多若干的邻接性（是以平行假定的自力性）。19世纪后期，德国数学家伯恩哈德·黎曼斥地了椭圆若干很多若干，这是此外一种非欧几里得若干很多若干，找不到平行线，三角形中的角度之和除夜于180°。经由过程将点定义为结实球面上的一对对对顶点，将线定义为球面上的除夜圆，证实它是齐截的。事前，证实一组公理齐截性的次要编制是为它供给一个模型。

投影若干很多若干

回结琐细中的骗局之一是圆形推理，这个问题似乎不时存在于投影若干很多若干中，直到Karl von Staudt措置。正如俄罗斯汗青学家所诠释的那样：

在十九世纪中叶，投影若干很多若干等分化和分化编制的支撑者之间存在乖戾的争议，单方呵痛斥对方同化了投影和怀抱定见。理论上，经由过程思虑区间的长度，引进了用于投影若干很多若干综合展示的根本定见，即一条线四个点的交错比。

von Staudt的纯若干很多若干编制基于无缺的四边形来表达投影谐波共轭的相干。然后，他成立了一种用他的抛掷代数来表达熟谙的数字属性的编制。这类推导场属性过程的英语版本可以在Oswald Veblen和John Young的《投影若干很多若干》（1938年）一书中找到，也可以在比来的John Stillwell的《若干很多若干四除夜支柱》（2005年）中找到。Stillwell在第120页上写道

...在某种意义上，投影若干很多若干比代数更复杂，因为我们只独霸五个若干很多若干公理来推导九个场公理。

抛出的代数但凡被视为交错比率的一个特点，因为师长教师但凡依托数字而不忧虑其根本。可是，交错比率筹算独霸若干很多若干的怀抱特点，地道主义者不招认这些特点。比如，1961年，考克斯特写了《若干很多若干导论》，但没有提到交错比率。

布尔代数和逻辑

正式措置数学的考验考验始于莱布尼茨和兰伯特（1728年至17777年），并延续是乔治·皮科克（1791年至1858年）等代数学家的作品。英国数学家George Boole（1847年）对逻辑举办了琐细的数学措置，他筹划了一个代数，该代数很快演变成如今所谓的布尔代数，个中独一的数字是0和1，逻辑组合（邻接、析取、蕴涵和否定）是近似于整数加法的运算。此外，德摩根于1847年宣布了他的功令。是以，逻辑成为数学的一个分支。布尔代数是数学逻辑的起点，在筹算机科学中具有次要独霸。

Charles Sanders Peirce以Boole的工作为根本，斥地了相干和量词的逻辑琐细，他在1870年至1885年的几篇论文中宣布了该琐细。

德国数学家Gottlob Frege（1848-1925）在1879年出版的Begriffsschrift（公式言语）中提出了逻辑与量词的自力展开，这项工作但凡被认为是逻辑史上的一个起色点。他泄漏了亚里士多德逻辑中的偏向，并指出了数学幻想的三个预期属性[需求援引]

齐截性：没法证实彼此冲突的陈述。无缺性：任何陈述都是可证实的或可回嘴的（即其否定是可证实的）。可剖断性：有一个决意狡计法度圭表类型来测试幻想中的任何陈述。

然后，他在Grundgesetze der Arithmetik（算术根本定律）中展示了算术若安在他的新逻辑中编制化。

弗雷格的作品活着纪之交时由伯特兰·罗素奉行。但弗雷格的二维标识表记标帜没有成功。风行的标识表记标帜是通用的（x）和存在量词的（∃x），来自Giuseppe Peano和William Ernest Johnson，直到1935年Gerhard Gentzen引进∀标识表记标帜，并在20世纪60年代成为圭表类型标识表记标帜。

从1890年到1905年，恩斯特·施罗德出版了三卷《Vorlesungen über die Algebra der Logik》。这项工作总结并扩大年夜大年夜大年夜大年夜了布尔、德摩根和皮尔斯的工作，并单方面援引了19世纪末邃晓的标识表记标帜逻辑。

皮亚诺算术

算术（天然数论）的编制化作为公理学幻想始于1881年的皮尔斯，并于1888年延续由理查德·感恩金德金和朱塞佩·皮亚诺延续。这还是是一个二阶公理化（用肆意子团展示回纳，从而隐含地独霸集结论），因为对用一阶逻辑表达幻想的忧虑还没有被邃晓。在Dedekind的工作中，这类编制似乎无缺描摹了天然数，并供给了从后续函数和数学回纳中加法和乘法的递回定义。

根本危殆

数学根本危殆（德语Grundlagenkrise der Mathematik）是20世纪初寻求切确数学根本的术语。

20世纪，几个数学哲学门户接一个地碰着了艰苦，因为数学在数学本身中可以齐截陈述任何根本的假定遭到各类悖论（如罗素悖论）的创作创造的严重挑衅。

“悖论”这个名字不睬应与冲突同化。编制幻想中的冲突是幻想内部荒诞的编制证实（比如2 + 2 = 5），这注解该幻想不合等，必须被回尽。但悖论多是给定编制幻想中令人诧异但真实的下场，也多是招致冲突的非正式论点，是以，假定要编制化，候选幻想必须起码禁尽予其法度圭表类型之一；在这类气候下，问题在于找到一个没有冲突的令人知足的幻想。假定论点的编制化版本构成了令人诧异的真谛的证据，这两种含义大年夜大年夜约都合用。比如，罗素悖论可以展示为“没有全数集结的集结”（除一些边沿公理集结实际）。

各类思惟门户彼此对立。抢先的门户是编制主义者的门户，除夜卫·希尔伯特是编制主义者中最次要的支撑者，幻想下场构成了所谓的希尔伯特的法度圭表类型，他筹算在经由过程元数学 finitistic身手证实健全的逻辑琐细的根本除夜将数学根本。编制主义学派的次要支撑者是直觉主义学派，由L带领。E。J。Brouwer剖断地扔掉落踪了编制主义，认为这是一个带有标识表记标帜的毫有时义的游戏。 这场和平是乖戾的。1920年，Hilbert成功地将他认为对数学构成威胁的Brouwer从事前抢先的数学期刊Mathematicache Annalen的编辑委员会中删除。

哥德尔无缺定理的哲学下场

哥德尔无缺性定理在一阶逻辑中创建了公式的编制可证实性与其在全数大年夜大年夜约模型中的真值之间的等价性。妥外埠说，对任何齐截的一阶幻想，它给出了该幻想描摹的模型的“显式构造”；假定该幻想的言语是可数的，该模型将是可数的。可是，这类“显式筹划”不是算法性的。它基于完成幻想的迭代过程，个中迭代的每个法度圭表类型都包含在连结实际齐截性的气候下向公理添加一个公式；但这个齐截性问题只是半可剖断的（一种算法可以找就职何冲突，但假定没有，则该齐截性理论还是没法证实）。

这可以被视为为柏拉图主义者的不雅不雅不雅不雅不雅不雅不美不雅不雅不雅不雅念供给了一种出处，即我们的数学幻想的对象是真实的。更切确地说，它注解，仅仅假定天然数集存在为全局（理论无量除夜）就足以展示任何齐截幻想的模型（对象全国）的存在。可是，还是存在一些艰苦：

对任何齐截的幻想，这但凡不单给出一个对象全国，而是幻想可以齐截描摹的无量大年夜大年夜约全国，它们之间大年夜大年夜约存在多种真谛。在集结论的气候下，该构造掉落踪掉落踪的模型都与预期模型近似，因为它们是可数的，而集结论旨在描摹不成数的无量除夜。在良多其他气候下也可以宣布近似的攻讦。比如，对包含算术的幻想，此类构造但凡给出包含非标准数的模型，除非构造编制专门筹划以阻拦它们。因为它不加分辨地为全数齐截的幻想供给了模型，只需幻想贯穿连接齐截，它就没有出处领受或回尽任何公理，而是认为全数齐截的公理幻想都指一样存在的全国。它没有声明哪一种公理琐细理应更可取作为数学的根本。因为齐截性的主意但凡没法证实，它们还是是一个崇奉或非严格的出处问题。是以，无缺性定理给出的模型的存在理论上需求两个哲学假定：天然数的理论无量除夜和幻想的齐截性。

无缺性定理的此外一个下场是，它证实无量小的定见是理论无量小的非零量的合法性，基于非标准模型的存在与标准模型一样合法。亚伯拉罕·罗宾逊将这个设++式化为非标准分化幻想。

更多悖论

以以下出了元数学的一些较着下场。Zermelo-Fraenkel集结论是研究最普及的集结***理化。当它包含选择公理时，它被缩写为ZFC，当消弭选择公理时，它被缩写为ZF。

1920年：Thoralf Skolem改正了Leopold Löwenheim对如今所谓的向下Löwenheim-Skolem定理的证实，招致了1922年构和的Skolem悖论，即存在ZF的可数模型，使无量基数成为绝对属性。1922年：亚伯拉罕·弗朗克尔证实，选择公理没法从带有尿素的泽梅洛集结***理中掉落踪掉落踪证实。1931年：哥德尔不无缺定理的出版，注解希尔伯特法度圭表类型的根本方面没法完成。它展示了若何为任何充分壮除夜和齐截的递回公理化琐细构建一个陈述——比如在（无量）天然数集上公理化算术的根本幻想所必须的——一个正式表达其本身不成证实性的陈述，然后他证了然该陈述齐截于该幻想的齐截性主意；是以（假定齐截性为真），该琐细的壮除夜窘蹙以证实本身的齐截性，更不必说一个更复杂的琐细可以完成这项工作了。是以，很较着，数学真谛的定见没法无缺断定，也不克不及像希尔伯特的法度圭表类型所想象的那样简化为地道的编制琐细。这给希尔伯特筹算的中心带来了末尾的冲击，即希看可以经由过程 finitistic 身手创建齐截性（从未了了了了甚么是“无穷主义”公理，但非论提到甚么公理琐细，它都是一个比它理应证实其齐截性的琐细更弱”的琐细）。1936年：阿尔弗雷德·塔斯基证了然他的真数不成定义性定理。1936年：艾伦·图灵证实，措置全数大年夜大年夜约的法度圭表类型输进对停止问题标通用算法不成能存在。1938年：哥德尔证了然选择公理和广义延续统假定的齐截性。1936-1937年：阿隆佐·丘奇和艾伦·图灵分袂宣布了自力论文，注解不成能找到恩采德问题标一样往常措置筹划：一阶逻辑中陈述的普及有效性是不成剖断的（屈就无缺性定理给出的，它只是半可剖断的）。1955年：彼得·诺维科夫证实存在一个无穷展示的群G，是以G的单词问题没法断定。1963年：保罗·科恩证实，延续体假说没法从ZFC中证实。科恩的证实展开了强逼编制，该编制如今是在集结论中创建自力性下场的次要对象。1964年：受物理学根本随机性的启发，Gregory Chaitin最早宣布算法信息幻想（测量数学中的不无缺性和随机性）的下场。1970年：希尔伯特第十个问题被证实是不成措置的：没有递回解来决意丢番图方程（多变量多项式方程）可否有整数解。1971年：理论证实，Suslin的问题自力于ZFC。

措置危殆

从1935年最早，法国数学家布尔巴基小组最早出版一系列书本，在集结论的新根本上正式断定许除夜都学局限。

直觉学派没有吸引良多奴隶者，直到1967年毕晓普的工作，培养汲引性数学才被置于更波动的根本之上。

人们大年夜大年夜约会认为，希尔伯特的筹算已部分完成，是以危殆根本上掉落踪掉落踪体味决，知足了比希尔伯特最初弘愿更低的请求。他的弘愿壮志是在甚么都不了然的时代表达的：还不了然数学可否能有一个波动的根本。

集结论有良多大年夜大年夜约的变体，这些变体在齐截性强度上有所不合，个中较强的版本（假定更高圭表类型的无量除夜）包含较弱版本齐截性的编制证实，但没有一个包含其本身齐截性的编制证实。是以，我们独一没有的就是我们大年夜大年夜约快活喜悦爱好的任何版本的集结论的齐截性的正式证实，比如采埃孚。

在幻想中，除夜除夜都数学家要么不独霸公理琐细工作，要么假定他们多么做，则不思疑ZFC的齐截性，但凡是他们首选的公理琐细。在幻想的除夜除夜都数学中，根本编制幻想的不无缺性和悖论从未阐扬感染，在它们起感染或编制化考验考验大年夜大年夜约会构成不合等的幻想（如逻辑和局限幻想）的分支中，它们大年夜大年夜约会遭到细心对待。

20世纪中叶局限论的展开注解，担保存在比ZFC更除夜的类的集结论是有效的，比如冯·诺伊曼-伯奈斯-哥德尔集结论或塔斯基-格罗滕迪克集结论，当然在良多气候下，独霸除夜基数公理或格罗滕迪克宇宙是可以正式消弭的。