图1 吴文俊

我想往日谈一下数学经历的现代化问题，对多么一个除夜的、次要的并且是宏壮的问题，不是一小我尽情说了就算数的，理应是经由空虚构和、齐心合力，来产生发火一个共叫。

我说的这个现代化，理论上是指机械化。这当然也是我小我主不美不雅不雅不雅不雅不雅不雅的不雅不雅不雅不雅不雅不雅定见，大年夜师可以有良多不合的不雅不雅不雅不雅不雅不雅定见。

所谓数学经历是绝对数学研究而来的，这是两个特别很是不合的局限。作为数学研究，你要正视立异，可是作为数学经历，你就不克不及尽情立异，并且最好阻拦尽情立异，从影响来讲这也不一样：比如说数学研究，我若写一篇除夜论文，可以得菲尔茨奖，而这对社会对经济会有甚么影响？这个可以说谈不上，对数学本身你说这篇除夜论文能起甚么除夜的影响？也很难说。可是数学经历就不一样了，这一影响可以很除夜——弄得好，可使得数学此后的脸蛋无缺不一样；弄得不好，就会激起良多灾害。

这个灾害也不是尽情瞎想的。理论上，是展示过多么的灾害的。我们在60年代中期到70年代中期经验了一场文明除夜反动。差不多在同时，在国外，次要多是在法国和美国，在数学局限也展示了一场“文明除夜反动”。事前，就在数学里边奉行所谓的“新数学”，也就是事前认为的“现代化”的数学。这个“现代化”的数学，把事前研究最活泼的，比如说拓扑学的内容放到中小学的一些课程里面往，放进一些拓扑的定见等外容，另有良多其他的更始。总的说起来，我说他们的这一场“新数学”行动或“数学现代化行动”中的“现代化”是极端非机械化的数学。大年夜师大年夜大年夜约都晓得，这一场现代化的新数学行动，激起了数学经历方面的一场灾害。我想，我们幸而阿谁时辰正好是文明除夜反动，所以对这场国外的“文明除夜反动”没若何跟上。比及我们的文明除夜反动停止了，他们的“文明除夜反动”也以损掉落踪落败而了却了。不然，我们假定也跟上他们干了的话，我们也会激起一场灾害。

可是此外，我们也有一些方面激起一些不好的下场。当然因为我几十年没有若何干戈黉舍经历，大年夜大年夜约不是那么回事。似乎有一个时代，我们在中学里边，把分析若干很多若干或消弭了，或促进到了一个很少的程度。那么，这个下场之一呢，就是比及除夜学进修微积分的时辰你先得花几个月的时分来补这个分析若干很多若干。我不晓得是不是是多么一种气候，我说这也是近似一场灾害，当然没那么短长。所以说，数学经历的影响很除夜，不克不及尽情来。这和数学研究不一样，研究工作为了立异，我可以横冲直撞。可是数学经历作为经历你就必须慎重其事，要特别很是细心，不克不及尽情糊弄。略微一个做得舛错，就要激起很除夜的下场。

我本来是跟数学经历几十年无缺脱节了的，但说其谎话，我对数学经历是不时很感欢欣乐乐喜悦爱好的。对奉行机械化，畴昔是前提不具有，如今呢，前提相算作熟了，次要方面的前提都斗劲成熟了。刚才已谈到，弄不好，会有近似新数学的这类毁伤。可是此外一方面，既有右的毁伤，也有左的毁伤。我说新数学的毁伤是因为奉行极端非机械化产生发火的一种毁伤。可是你假定奉行机械化的话，假定你奉行欠妥，也可以产生发火良多毁伤。所以对这个中心右的、左的都可以产生发火很坏的影响。

我举一个例子，要弄所谓的机械化，那当然要独霸筹算机了，那么筹算机在中小学里面奉行，这当然很次要。筹算机从娃娃的时辰学起，我特别很是承诺。可是假定进修欠妥，你就会连加减乘除也学不成，小学里边的师长教师学加减乘除时，你说我有一个筹算器，我把一个数字输进往，再把一个数字输进往，一加一乘当即就出来了。你要这个容貌往学的话，那么师长教师不单加减乘除学不会，并且往后的全数的数学、科学技能就都不成能学会。我说这是一个特别很是的毁伤，这个毁伤大年夜大年夜体不会展示。可是此外有一种毁伤可以用八门五花的编制，激起对筹算机的熟谙上的问题。独霸得欠妥，还可以激起各类各式的风险的下场。所以，当然我是不成能涉足，可是我想仍是借这个机构和一下我对这个问题标不雅不雅不雅不雅不雅不雅定见，因为这个问题斗劲次要。当然，我的话大年夜大年夜约有良多偏向，出格大年夜大年夜约跟如今的解释注解气候不符。可是我想，当然我不在其位，如今仍是要谋一下政。我如今来谈一谈我小我的不雅不雅不雅不雅不雅不雅定见。

图2 筹算机

除夜学中的现代化问题，或照我的不雅不雅不雅不雅不雅不雅定见，所谓机械化的问题，如今谈起来为时过早，大年夜大年夜约要到21世纪再谈斗劲契合。所以我想谈的主假定中小学局限里边的数学现代化，或照我的不雅不雅不雅不雅不雅不雅定见，所谓数学机械化的问题。

束厄狭隘前，我本身教过好些年的中学，大年夜大年夜体有5年，我教的中学都是只需初中和小学的初级中学，我只需半年似乎是在一个高中代过课，可真实的高中课没教过。我感应感染，中小学内容，数学解释注解内容跟除夜学的解释注解内容有一个特别很是不合的中心。就是除夜学的解释注解内容，根本上用我如今的话讲黑色机械化的，除夜体上黑色机械化的，并且是东方的，是17世纪往后的东方的数学的内容。

可是中小学的数学内容，我想借用一个叫做斯托罗克（既弄微分若干很多若干又弄数学史）的话，他写过一本叫做《数学简史》的书，这个里边讲到，东方以外的这个数学，他起了个名字叫做东方数学。他说中小学里边的数学，跟我们如今弄数学的人干戈的除夜学数学和数学研究的那种数学味道特别很是不合，他把它叫做东方数学。取名为东方数学，声明中小学里边的数学是本源于东方的数学。

我说这个东方理应主假定指中国。我说他的这个说法特别很是对，全数中小学的数学的解释注解内容，根本上是东方的也就是中国的，或说是机械化的。除夜学经历内容是东方的，除夜体黑色机械化的；可是中小学的数学内容，除夜部分、根本上、次要的部分是东编制的，是东方数学，是机械化的数学。

那么，我们如今来搜检一下若何样的才是东方的，是机械化的。先来看一下小学，在小学，我们起次要讲四则运算，加减乘除，另有开方等等。其次大年夜大年夜约另有比例，有一些我不晓得，因为具体内容我不太了然，另有其他的一些，大年夜大年夜约另有一些统计的常识，我在束厄狭隘前有一段时分还要进修珠算。除夜体上是多么，如往大年夜大年夜约有很除夜的变卦了。不过，你的根本内容是不克不及消弭的，这是最根柢的。此外，束厄狭隘前到了小学六年级有整整差不多一年，弄所谓四则艰苦，我也教过初中，到了初中，第一年一年级整整一年又讲四则艰苦，就是对这个四则艰苦，在束厄狭隘前我阿谁时辰，师长教师差不多花了整整两年时分来进修，如今气候我不晓得。

那么四则艰苦的内容是甚么呢？我举一个类型的例子，就是鸡兔同笼。这个推理过程，可以说逻辑推理黑色常严格的，思惟黑色常奇妙的，若要我说，这是用了一些奇招、怪招算出来的。

图3 鸡兔同笼

那么整整小学六年级和初中一年级这个两年里面，就要进修许良多多诸如斯类的四则艰苦，进修良多奇招怪招。这些奇招怪招假定学多了，对逻辑推理、思惟身手等等，切实其实是起了必定的感染，可是你学了那么多会有甚么用？当然奇招怪招学的越多，身手就越除夜，可理论上，将来你可以用的，我想不会碰着，碰着的机会是眇乎小哉的。

大年夜大年夜表示在不是多么的，我不晓得是从甚么时辰最早的，畴昔的初中是从初中二年级最进步先辈修代数，用代数的编制来措置诸如斯类的问题，四则艰苦就变得特别很是随便了。对鸡兔同笼之类的良多四则艰苦，你若用代数的编制来做，就会变得特别很是随便。更次要的是，当然这类四则艰苦建造了许良多多的奇招怪招，可是你跑不远、走不远，更不克不及降低，谈不上，远远谈不凹凸降。可是你假定引进代数编制，这些对象就都变成了不须要的，平平平平的。你便可以做了，并且每小我都可以做，用不着后天人物想出良多招来才调做，并且他可以降低，不单可以跑得很远并且可以降低。所以四则艰苦用代数取而代之，这是无缺切确的，对数学经历这黑色常次要的。我说不克不及在奇招怪招上破钞时分太多，破钞时分太多是所长的。但我真实不是说无缺消弭不要，你可以不是花整整两年的时分，而是把比如说几个月的时分，两三个月的时分花在这些艰苦上面，然后再讲代数的编制，把这些艰苦用奇招怪招做的和用代数编制做的做一个比照，我想多么理应是斗劲有终局的，我不晓得近况是若何样的。我黑色常支撑那种做法的，你看他似乎学了很除夜的身手——这一个是一个奇妙的，那一个又是一个奇妙的，真实他做不了甚么除夜事，你要想上升或说降低根柢谈不上。

这是我讲的小学里边的气候。这个中心我有需求说一下，我说小学里边的内容以四则运算为主，再进一步到代数编制的话，那这些内容就都是机械化的，这个机械化的内容所以可以很随便地在小学里边可以学到，次要的一个相干是因为它是机械化的，不须要像四则艰苦那样必定要用奇妙的设法，而是可以斗劲机械地举办。关头是，加减乘除这些编制，是借助在位值制的所谓位值制的数字表达上面的。这个位值制对进位制是很除夜的一个奔驰，不是一个复杂的改进。我们晓得十进位、二进位，而机械里边的这个二进位的111，一样的这个1职位不合，它代表的意义就不合，假定说化成十进位的话，最右边的1就是2^0，中心的1是2^1，右边的1则是2^2，一样的1展示不合的意义。一样的标识表记标帜因为职位的不合，它的取值就不合，这就叫位值制。这个位值制比复杂的进位制内涵不知要广若干很多若干良多若干很多若干良多若干很多若干，对这一点但凡为不太熟谙的。

图4

我复杂地说，进位制是只需中国有。我不是说本国没有进位制，比如说拉丁美洲的玛雅平易近族有20进位制，埃及有十进位制，巴比伦有60进位制。可这类进位制都是不无缺的，是无缺不全的。而只需中国的十进位制才是无缺的，并且我们不单有无缺的进位制，另有所谓位值制，这是很关头的一步，对这一点但凡为不太随便邃晓的。所以如今我来引见拉普拉斯的一段话，拉普拉斯是多么讲的：“如今有所谓特别很是机警的逐浅近例，把全数的数用10个字母展示出来，同时给他们一个尽对的职位的值。”这就是位值，就是对每个职位，这三个1职位不合，不合的职位给它以不合的位值，“这个机警的编制是从印度那儿来的。”

末尾一句较着是所长的。印度的数学表达编制切实其实是不成思议的。东方经常感应全数从东方来的数学都是从印度来的，这个我们不往管它了。他说“用10个数字表达肆意的数字，每个数字因为不合的职位给它以不合的位值。这个机警的编制是从印度那儿来的。这个设法黑色常超卓并且次要的，它看起来似乎多么复杂，恰是因为特别很是复杂，所以我们不克不及充分地熟谙它的功烈。可是恰是因为它的特别很是的复杂性跟它的极端的利便性，使得这浅近例可以转抵达全数的筹算，又可影响到全数的筹算，使得我们的算术的琐细，可以放在有效的创作创造的最初级的职位。至于创作创造多么的逐浅近例是多么艰苦呢，可以从上面这个理论看出来：就是有两位汗青上、古代最巨除夜的人物，两个后天人物，一个是阿基米德，一个是阿波罗尼，像多么两个巨除夜的后天人物都不成以或许创作创造多么次要的工作，就声明创作创造多么逐浅近例决不是一个随便的工作。”这是引了拉普拉斯的一段话。

图5 阿基米德

我引这个话是因为如往大年夜大年夜约有良多人对位值制不太寄看，对位值制的次要性不太熟谙，所以我就声明一下。我说恰是因为中国古代创作创造了无缺的进位制并且还创作创作创造了位值制，才使得各类运算如加、减、乘、除、开方等等成为大年夜大年夜约。希腊时辰是没有开方，不会开方的，这是有书为证的。加减乘除若何样，我不晓得，因为没有书为证，我不好尽情说。

恰是有了多么的位值制，所以我们才调把算术变得特别很是复杂，才使运算、筹算变得特别很是精练，并且经得起汗青的考验。我想的话起码两千年或我想起码要好几千年。不时到如今，中小学里边你可以消弭这些对象吗？所以我说美尽是经得起汗青考验的。

注：本文转高傲众号“和乐数学”