数学方面的身手该若何培养？若何才调学好数学？
数学方面的身手该若何培养？
培养语感的编制是多看好的文学作品，数学呢？多做题？
甚么是真实的数学身手？筹算是数学？逻辑是数学？空间想象是数学？奥数是数学？....
数学系博士怒答！
我想大年夜师都有多么的体味：小学的时辰你根柢不晓得初中数学是甚么样，高中的时辰你也根柢想不到除夜学数学是甚么样。而除夜师长教师，假定你不专注于数学，生怕也不晓得现代数学是甚么面孔面孔容貌。
上面将分袂从学数学的念头、数学不合学科的分类和若何其实可行培养数学身手等几个方面叙说若何进修数学。
========进进正题========若何学好数学=========
1、认清你的需求
为甚么需求进修数学，这是你起首需求想了然的问题。数学学科子分类多、每本数学书中都有良多定理和结论，需求花除夜量时分研究。而人的时分是忧伤的、无穷的，所以你需求除夜体有一个方针和筹算，公允放置时分。
01你的方针是精晓数学、研究数学，以数学餬口，你大年夜大年夜约昂扬掌控代数若干很多若干，或想精晓前沿物理。
那么你需求打下波动的现代代数、若干很多若干以及分化根本，你需求预备除夜量时分和精力，具有剖断不移的决计。（请求：精晓全数***初级数学）
02你的方针是可以谙练独霸初级数学，措置问题，掌控试探新独霸局限的刀兵，你大年夜大年夜约昂扬进进筹算机视觉局限、经济学局限或数据发掘局限。
那么，你需求打下波动的矩阵论、微积分和概率统计根本。（请求：精晓第一级初级数学）
03你的方针是想体味数学的喜悦爱好，把学数学作为人生一除夜专业欢欣乐乐喜悦爱好。
那么，你需求打下波动的线性代数、数学分化、拓扑学和概率统计根本，对你来讲，体味学数学的喜悦爱好是一个更次要的方针。（精晓第一级初级数学，在第二级初级数学中畅游，考验考验干戈第***初级数学）
2、给本身充分的动力
学数学需求智力，更需求时分和精力。上面的几个理论相大年夜师都深有体味：
01但凡没有效的对象，或当然有效，可是你用不到的对象，学得快忘得也快。不信你回想一下你除夜一或初一的根本课，你还记的了然吗？
02但凡你不感欢欣乐乐喜悦爱好（或感应感染不到喜悦爱好）的对象，你很难对立完成它。良多人都有多么的经验，一本书，前三章看的很细心，后背就囫囵吞枣，越看越快，回正既没意思也没用。
03小学数学是中学数学的根本，中学数学是高中数学的根本，高中数学是除夜学数学的根本（你可以以此类推）。
是以，非论你的方针是甚么，弄数学、用数学、仍是体味数学的喜悦爱好、知足本身从少年时就有的胡想。学有所乐、学有所用，永远是贯穿连接你动力不阑珊的两个最次要的要素。
3、初级数学学甚么？
好了，来看看标准除夜学数学的科技树：
一级
线性代数（矩阵论）、数学分化、近世代数（群环域），分袂包含了了若干很多若干、分化和代数的根本幻想。别忘了另有概率论（创建在分化之上的一门根本学科）。
二级
有了这些根本，接着是根本的根本、笼统和奉行：
测度论（积分的根本，也是概率论的根本）
拓扑学（有关集结、空间、若干很多若干的一门极端次要的根本学科）
泛函分化（线性代数的奉行）
复变函数（分化的奉行）
常微分方程与偏微分方程（分化的奉行）
数理统计和随机过程（概率论的奉行）
微分若干很多若干（分化和若干很多若干的连络）。
然后是一些小清爽和独霸学科：
数值分化（算法）
暗码学，图形学，信息论
时分序列，图论等等。
***
再往上是研究生课题，经常是代数、若干很多若干和分化要一同上：微分流形、代数若干很多若干、随矫捷力学等等。
这个科技树的***，和小学、初中、高中数学很近似。一层学不精晓，下一层看天书。
4、若何进修
安妥做题
切切切切切切不要狂做题。玩过计策对立游戏的同窗都晓得，初级兵造几个就好了，要攒钱出初级兵才调在后期取胜，初级兵不单***击击力低，还没有好玩的魔法，它们存在的意义在于让你怀孕手熬到后期。
上面列举了那么多课程，你先花5年做完吉米诺维奇六本数学分化习题集，你就30岁了，后背的二级课程还没最早学呢。
是以，做一些课后习题，辅佐你复习、思虑、贯穿连接除夜脑运转就行，要不竭地向后学。假定无缺学不懂了，前去来做习题帮本身理清端倪。
体味思惟
数学的精华不是做题的数量，而是掌控思惟。
每个数学分支都有本身的主线思惟和编制论，不合分支也有彼此可供比照和自创的思惟编制。寄看它，模仿它，琐碎的常识就串成了一条项链，你也就掌控了一门课。思唯真实不是读一本教材就可以随便体味的，你要读好几本书，体味一些独霸才调体味。
举两个例子：
1.微积分的主线有这么几条：
熟谙到微不美不雅不雅不雅不雅不雅不雅和宏不美不雅不雅不雅不雅不雅不雅是有联络的，微分用来描述事物若何改削，它把细节放除夜给你看，而积分用来描述事物的集团性质；
微分和积分有时是描摹一个气候的不合编制，这一点你在数学分化书中大年夜大年夜约不随便创作创造，可是假定学点物理，就会创作创造麦克斯韦方程组同时有等价的微分编制和积分编制；
积分变卦可以创建不合空间之间的的联络，创建空间和空间鸿沟的联络，这就是Stokes定理：
这个公式最迟要在微分流形中你才调一窥全貌。
2.矩阵是空间中线性变卦的笼统，线性代数这门课的全数意义在于研究若何表达、化简、分类空间线性变卦算子；
SVD分化不单在独霸学科用有极端普及的表态，也是你邃晓矩阵的无力对象；
矩阵是无穷维空间上的线性算子，对"空间"的邃晓不单能让你从头熟谙矩阵，愈加泛函分化的进修开了个好头。
渐进式迂回式进修，比照进修
良多时辰，只读一本书，大年夜大年夜约因为作者在某处思惟腾踊了一下，往后你就再也跟不上了。进修数学的一个诀窍，就是你同时拿到好几本国际驰名教材，彼此比照着看，或看完一本然后再看不合主题的此外一本书，已熟谙的内容跳畴昔，假定看不懂了，停上往思虑或做做习题，仍是不懂则往撤离猬缩猬缩一退，从能看懂的部分向前鞭挞，当你看的多了，就会创作创造一个对象涌如今良多中心，对它的邃晓就加深了。
举两个例子：
外微分这个对象，国际有的数学分化书里大年夜大年夜约不引见，我第一次碰着是在彭家贵的《微分若干很多若干》里，感应感染这是个利便奇妙的对象；
后来读卓里奇的《数学分化》和Rudin的《数学分化事理》，都讲了这个对象，可见在东方外微分是一个根本常识。
你要读懂它，大年夜大年夜约要起首邃晓矩阵，除夜白行列式正好是空间体积在矩阵的变卦下拉伸的倍数，它是一种线性编制。
末尾，当你读微分流形后，将创作创造外微分是掉落踪掉落踪流形上的Stokes定理的对象。
点集拓扑学这个对象，弄操感染不到。可是但凡你想往深处学，这一门学科就必须求掌控，因为它供给对诸如开集、紧集、延续、无缺等数学根本定见的精准描述。
此后学泛函分化、微分流形，没有这些定见你将行动维艰。
起首你要读芒克里斯的尽代名著《拓扑学》，接着在读其他本国人写的书时，或多或少都邑干戈一些相干定见，你的邃晓就加深了，比如读Rudin的《泛函分化》，最早就是引见线性拓扑空间，后面的常识你就可以用上了。
创建不合学科的联络
看到一个对象在良多中心用，你对它的邃晓就加深了，慢慢也就可以体味到这个对象的精细，末尾你会创作创造全数的根本学科彼此交错，又在后续独霸中彼此辅佐，其实体味到它们真的很根本，很有效。这是一种体味数学喜悦爱好的路途。
存眷独霸学科
没有甚么比独霸更能激起你对新常识、新对象的盼看。找一些感欢欣乐乐喜悦爱好的独霸学科教材，读一读，坦荡眼界，为本身的将来堆集成本。
以下连络本身的专业（筹算机视觉）和欢欣乐乐喜悦爱好说说一些精细的专业书本：
学了微积分，便可以无压力不雅不雅不雅不雅鉴赏《费恩曼物理学教材第一卷》，体味力、热、光、时空的奇妙。学了偏微分方程，便可以无压力不雅不雅不雅不雅鉴赏《费恩曼物理学教材第二卷》，体味电的奇妙。学了矩阵论，可以买一本《筹算机视觉中的多视图若干很多若干》，体味成像的奇妙，编程举办图象序列的三维重建。学了概率论的同窗理应会传闻过贝叶斯学派和频率学派，这两个学派的人把沙场拉到了机械进修局限，下场了两本经典著作《Pattern Recognition And Machine Learning》和《The Elements of Statistical Learning》，读了它们，我被根本数学为机械进修局限供给的丰富下场和深切不雅不雅不雅不雅不雅不雅定见深深折服；读了《Ray Tracing from the Ground Up》，本身写了一个光线追踪器衬着真实场景，它的根本就是一点点微积分和矩阵……
初级数学的独霸真实太多了，假定你快活喜悦爱好编程，主动化、机械人、筹算机视觉、编制辨认、数据发掘、图形图象、信息论和暗码学......四处都有除夜量模型供你玩耍，并且只需求一点初级数学。在这些局限，你大年夜大年夜约能创作创造比数学书更滑稽，也更随便找到工作的方针。
找滑稽的书看
数学家写的书有时是斗劲机械的，可是总有一些教材，它们的作者有凶悍的欲看想向你展示"这个对象真实很滑稽"，"这个对象无缺不是你想的阿谁容貌"等等，他们成功了；另有些作者，他们快活喜悦爱好把一个对象在不合局限的独霸，和不合对象在某一局限的独霸集结展示给你看。
多么的书会供给给你充分的喜悦爱好读下往。类型代表就是国际出版的一套《图灵数学统计学丛书》，这一套书理论上是太棒了，比如《线性代数理应多么学》《复分化：可视化编制》《微分方程、动力琐细与浑沌导论》，小我认为都是学数学必读的经典教材，特别很是特别很是滑稽。
5、多读书，读好书
假定只需一句话回结综合若何培养数学身手，那么就是这一句：多读书，读好书。是以这一步我想孤单拿出来多说两句。
想必大年夜师都特别很是精晓并能谙练独霸小学数学。想读懂代数若干很多若干，或退一步，想读懂信息论根本，你就要挑几本好的根本教材，最好是本国人写的，像掌控小学数学那样掌控它。不要只看一本，找三本不合作者的书，比照着看，逐行逐字看。有的中心必定看不懂，记上往，说不定在此外一本书的某个中心就从此外一个角度说到了这个对象。
假定你往后还要此后学，如今看到的每个根本定理，往后还会用到。 每本根本书，你往日抛却，往日诰日还要乖乖重头再来。 要像读***一样，交错不雅不雅不雅不雅鉴赏比照不合教材内容的异同。
推荐教材
第一级
《线性代数理应多么学》
卓里奇《数学分化（两册）》（读英文版吧，不难。有知友说这个仍是不太复杂，那你可以先看个国际教材，然后回过分来再看这个）
复旦除夜学《概率论》
第二级
芒克里斯《拓扑学》
图灵丛书的一些分册
柯斯特利金《代数学引论》
Vapnik《统计进修幻想的本质》
Rudin《数学分化事理》
Rudin《泛函分化》
Gamelin《复分化》
彭家贵《微分若干很多若干》
Cover《信息论根本》
第***
微分流形标的方针：
Do Carmo《黎曼若干很多若干》
Boothby《微分流形与黎曼若干很多若干》
A. Zee《Einstein Gravity in a Nutshell》
交换代数与代数若干很多若干：
Rotman《An Introduction to Homological Algebra》
Risenbud《Commutative Algebra:with a View Toward Algebraic Geometry》
微分方程：
Evans《Partial Differential equations》
Gardiner《随机编制手册》
在这里想多说几句。当然我在数学系，可是研究标的方针是筹算机视觉，读数学书对我来讲地道是消遣，和打游戏没甚么分辨。这些教材大年夜大年夜约在专业人士的眼里只能算是进门根本，可是在我看来它们相当难，读着很辛苦，并且供给的不雅不雅不雅不雅不雅不雅不美不雅不雅不雅不雅念相如今级，是以我把它们回为“第***”数学。
我对微分流形不时很感欢欣乐乐喜悦爱好，最最早看的是Do Carmo的《黎曼若干很多若干》，没有读懂。我后来猜测，启事多是没有做习题。后背我看了各类各式的书，包含Do Carmo的此外一本小册子《Differential Forms and Applications》，Dodson的《Tensor Geometry》，另有Bishop的《Tensor Analysis on Manifolds》等，对相干定见有了必定熟谙，可是仍是感应有些思疑。
直到读到Boothby的《微分流形与黎曼若干很多若干》才让我真正感遭到本身弄懂了。这本钞缮的特别很是罗嗦，也斗劲厚，这恰是我需求的——一本专门为玩票和遗忘家所写，不竭几回朴实各类定见，证实具体的书。
后来我又回头往读最最早读不懂的那本Do Carmo的《黎曼若干很多若干》，个中有一半我已懂了，此外一半当我静下心来细心猜测，创作创做作者当然证实复杂，可是宏壮的部分却一点没省，假定细心思虑，无缺可以掌控。后来我又读了A. Zee的《Einstein Gravity in a Nutshell》。这是一本讲绝对论的书，把微分流形和绝对论、牛顿力学、变分法串了起来。作者在书里一遍又一遍地几回解释注解各类定见，不雅不雅不雅不雅鉴赏体验极佳。
大年夜大年夜体几个月前，我对交换代数和代数若干很多若干产生发火了欢欣乐乐喜悦爱好。因为有Munkres《拓扑学》和Artin《代数》的根本，我就买了本Risenbud的《Commutative Algebra: with a View Toward Algebraic Geometry》，这本书评价很棒，作者的立场也很亲善，叙阐了然，但我仍是感应难以不雅不雅不雅不雅鉴赏，只好考验考验看其他相干教材，包含Zariski的《Commutative Algebra》，AtiYah和Macdonald的128页的小册子《Introduction to Commutative Algebra》和Matsumura的《Commutative Ring Theory》。这些书都特别很是驰名，当然也可以延续往下读，但我还想再挑挑。
数学家大年夜大年夜约快活喜悦爱好这类气焰，比如Altman和Kleiman在《A Term of Commutative Algebra》一书里就表达了对AtiYah和Macdonald措置交换代数的身手的嘉奖，除夜意是理操作尽大年夜大年夜约精练的言语把各类定见一股脑地抛给读者，可是真实舛错我的胃口。
幻想下场，我找到了Rotman的《An Introduction to Homological Algebra》，尽不朴实地说，这是我读过的最好的代数教材，作者在证实定理时，甚至不快活喜悦爱好用“近似可证”多么的话，对立把各类细节都写出来，并且几近每证实完一个定理就火烧眉毛地给出几个例子辅佐我邃晓。
我在网上看到一些人评价这本书“特别很是罗嗦”，“理应直接从第五章最早看”的辞吐，这些评价真实不契合我，这本书对我的辅佐是那些精练的书所不克不及更调的，其供给的初级不雅不雅不雅不雅不雅不雅不美不雅不雅不雅不雅念恰是我期看在“消遣”中体验的。
此外，Rotman另有一本1000页的《Advanced Modern Algebra》，涵盖了近现代代数局限全数根本常识，很值得一读。
举了上面两个例子真实就是想说，读斗劲难的数学书时货比三家会对人很有辅佐。推荐大年夜师往下载美国研究生数学教材系列Graduate Texts in Mathematics(GTM)，有约300本教材。
不雅不雅不雅不雅鉴赏一些科普教材
《甚么是数学：对思惟和编制的根本研究》
《高不雅不雅不雅不雅不雅不雅不美不雅不雅不雅不雅念下的初等数学》
《***、埃舍尔、哥德尔》
《e的故事》
不雅不雅不雅不雅鉴赏各个局限最滑稽、最活泼、最让你长常识、最正视独霸、文笔最易懂的教材和书本
《费恩曼物理学教材》三册
《浑沌与分形：科学的新疆界》
《微分方程、动力琐细与浑沌导论》
《复分化：可视化编制》
6、总结
末尾想说，数学是一个无底洞，会破钞损掉落踪落你忧伤的芳华。全无所闻的你大年夜大年夜约励志弄懂现代数学，可是多会半途却步，同时剩下的时分又不足精晓此外一门科学。并且即便你精晓纯数学，没有几篇好文章也真实不随便找工作。
我的建议是在不雅不雅不雅不雅鉴赏数学的过程中斥地眼界，纯数学和独霸数学学科都看看，找到感欢欣乐乐喜悦爱好、独霸普及的标的方针再一猛扎下往成为你的奇不雅不雅。比如数学结壮，编程身手也强的人就很有前程。
