2022年阿里巴巴全球数学比赛四名金牌得主可掉落踪掉落踪4万美元的奖金。任何人都可以介入资格赛。奖牌掉落踪掉落踪者经常是专业数学家或IMO奖牌掉落踪掉落踪者。本文的问题来自2022年阿里巴巴全球数学比赛资格赛，可以编程。

问题

一家牛奶公司在新年举办促销活动，每盒牛奶赠予一个红包（卡片）。每个卡片都有一个汉字，汉字多是虎 、生、威 ，且概率相当。人们试图群集两个虎，一个生和一个威，多么他们便可以构成侥幸短语“虎虎生威”。

问：掉落踪掉落踪“虎虎生威”所需的牛奶盒数的期看值是若干很多若干良多若干很多若干良多若干很多若干？

A)19/3

B) 22/3

C) 25/3

D) 28/3

E)以上都不是

为了筹算期看值，我们需求将每个（无量个）大年夜大年夜约的下场乘以其概率并取其和。

在从数学上求得这个无量和之前，我决意独霸Python运转一个模仿。字母“H”，“S”，“W”代表三个汉字虎，生和威：

随机选择“H”，“S”，“W”，并将其添加到列表中；几回，直到列表有所需的[&39;， &39;， &39;， &39;]；筹算它举办了若干很多若干良多若干很多若干良多若干很多多少次选择并记实下场；几回一万次。

这10,000次履行的平均值为7.3236。为10000个下场可视化直方图，

样本均值为7.3236，这让我料想谜底是B。但也有多是E，我们理应从数学上推导出下场。

所以我用计数的编制来筹算n张牌“掉落踪利（HHSW）”的概率。我想找出包含HHSW的n张卡片的总列举数，然后用这个数除以n张卡片的总列举数。分母上的总数是3^n。

上面是一个Python法度圭表类型，用于筹算n的前几个值的气候。

输进为：

共4张卡，81个选项中，有12个包含HHSW共5张卡，243个选项中，有80个包含HHSW共6张卡，729个选项中，有360个包含HHSW共7张卡，2187个选项中，有1372个包含HHSW共8张卡，6561个选项中，有4788个包含HHSW

4张卡的气候下，掉落踪掉落踪HHSW的概率是12/81真实不难，

在4个中心中有2个中心需求放置H牌，所以有6种编制可以做到这一点。那么剩下的两张牌必须是SW或WS，那么分子上的数就是6×2=12。

但假定是5张牌掉落踪利，“HHSW”的概率就不是80/243了。当然有80种编制将HHSW放置在5张卡中，但个中12种HHSW将涌如今前4张纸牌中，在这类气候下“游戏”便会停止。

是以，我改进了这个法度圭表类型，然后只对HHSW之前没有展示过的列表举办计数。上面是独霸递回编制的代码：

输进:

共4张卡，81个选项中，有12个包含HHSW共5张卡，207个选项中，有44个包含HHSW共6张卡，489个选项中，有120个包含HHSW共7张卡，1107个选项中，有292个包含HHSW共8张卡，5319个选项中，有1500个包含HHSW

推导一个显式公式

如今这些计数可以用来切确地给出每步的“掉落踪利（HHSW）”概率。但要记住，要拿到第5张牌，我们还需求第4张牌“损掉落踪落败”。为了在第6张牌上掉落踪利，需求在第4张和第5张牌上损掉落踪落败，以此类推。

可是为了延续筹算这个无量和，我们需求邃晓这些数字的由来。

在5张卡片中，理应有44种编制可以掉落踪掉落踪HHSW。我们把它们分为三种气候，因为末尾一张牌必须是H、S或W中的一张。

气候1：第5张牌是H

这意味着前4张卡片必须包含一个H，然后起码包含一个S和w。将H放在后面有4个选项。对剩下的3张卡，有2^3种气候只包含S, W卡，但个中两种（SSS和WWW）消弭。所以总列举数是4(2^3−2)= 24。

气候2：第5张牌是S

所之前4张卡必须只包含H, W卡，起码有两张H卡和一张W卡。有2^4种气候只包含H, W张牌，但需求删除HHHH, WWWW和没有H的4种气候，所以总列举的数量是2^4 − 2 − 4 = 10。

气候3：第5张牌是W

这与气候2是对称的，所以列举的数量是10。

令人快活的是，这3种气候总共供给了44种用5张纸牌“掉落踪利（集齐HHSW）”的编制。

回结综合以上3种气候可以辅佐我们给出第n张牌掉落踪利的公式，

气候1：第n张牌是H

这意味着后面（n−1）个卡片必须包含一个H，然后起码包含一个S和w。将H放在后面有（n−1）个选项。对剩下的（n-2）个卡，有2^（n−2）种列举只包含S, W卡，但个中两个（SSS…S和WWW...W）要消弭。所以列举的总数是

气候2：第n张牌是S

所之后面（n−1）卡必须只包含H, W卡，起码有两张H卡和一张W卡。有2^(n−1)种列举只包含H, W张卡片，但需求删除HHH…H, WWW...W和只需一个H的（n−1）种列举，是以列举的数量为

气候3：第5张牌是W

这亲善象二是对称的，所以列举的次数是

对这三种气候的总结掉落踪掉落踪了第n张牌掉落踪利的总概率的公式。我如今将它定义为p_n：

回到期看值表达式，我们还需求包含之前未掉落踪利的概率：

看起来挺宏壮的。可是我们寄看到，分母也可以写成p_n的编制，这就简化了良多。每个分母都是

无量级数就变成了

将p_n更调为n的表达式，掉落踪掉落踪

若何筹算这个无量级数？我在++++上找到了以下公式:

末尾两个公式恰是我所需求的。取前两项z = 2/3，后一项z = 1/3：

寄看，这些和的上限是1。对我们的期看值，上限是4，可是筹算n = 1，2，3的和并减往真实不太难：

是以，谜底为B。你有更好的解题编制吗？