物理局限的重除夜打破有时需求数学的赞助，反之亦然。

1905年，爱因斯坦提出了广义绝对论，将时分和空间缔姻，这使我们对宇宙的邃晓产生发火了反动性的改削。可是，广义绝对论的成功，并没有阻拦他进一步地试探更深层的问题，因为他还未将引力的影响纳进到他的幻想中。

七年后，事前在苏黎世联邦理工学院的爱因斯坦，正酝酿着一个可以倾覆牛顿万有引力定律的幻想。可是，爱因斯坦在扩大年夜大年夜大年夜大年夜广义绝对论时却碰着了艰苦，他必须经由过程独霸一些新的编制和身手才有大年夜大年夜约完成这一豪举。侥幸的是，爱因斯坦的好同伙和同事格罗斯曼（Marcel Gros++ann）伸出援手，带来了一个特别很是令人冲动的优雅编制：黎曼若干很多若干。

△ 黎曼在19世纪展开出了一套出格的曲率若干很多若干定见时，他涓滴没在乎过物理学。事前的他尽对想不到，在20世纪初，他的工作会在爱因斯坦的笔下为物理学的反动性展开起到泼油救火的感染。| 图片本源：symmetrymagazine

十九世纪中叶，德国数学家黎曼（Bernhard Riemann）展开了黎曼若干很多若干的数学框架。在事前，黎曼若干很多若干本身就是一个具有更始性的框架。不合于之前将数学图形算作是三维空间的子集，黎曼若干很多若干经由过程更本质的编制直接研究图形的性质。比如，一个球可被看作是三维空间内全数距离原点正好为1的点的集结。但它也可以被视为每个点都有着出格曲率属性的二维物体。后背的这类定义对邃晓球多么的若干很多若干图形来讲大年夜大年夜约不是那么次要，但对更宏壮的流形和更高维的空间，这类定义的价值就不问可知了。

在1912年的时辰，黎曼若干很多若干还是是逐浅近致的幻想，还未无缺渗入到数学局限，但它正好是爱因斯坦所需求的。黎曼若干很多若干授予爱因斯坦一个壮除夜的数学根本，使他得以构建出一个全新的引力幻想——广义绝对论的切确等式。1913年，爱因斯坦和格罗斯曼宣布了他们打破性的工作。幻想物理学家 Peter Woit 认为“假定没罕有学家的辅佐，很难想象爱因斯坦若何才调完成绝对论的工作。”

广义绝对论的故事当然能让数学家们感应自得。在这个故事里，数学似乎就像是一个带路人，在安妥的机会涌如今物理学家的身边，为一片惨然的物理学全国带来亮光。

可是，数学和物理的彼此影响远比这个故事里陈述的更宏壮。在除夜部分有记实的汗青中，物理和数学甚至不是离开的学科。古希腊、埃及和巴比伦的数学认为我们糊口在一个距离、时分和重力都按某种特定编制运转的全国中。

布朗除夜学的物理学家 Sylvester James Gates 说，“牛顿是第一个为了抵达学术岑岭而创作创造一项新的数学局限的物理学家。这个数学局限就是微积分。”

微积分让措置一些经典的若干很多若干问题变得愈加复杂，但其最初的方针是为牛顿供给了一种分化行动的新编制，和改削了牛顿不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅查询拜访物理的视角。在这个关于微积分的故事中，数学更像是一个让实足事物变得井井有理的管家，而不是在危难关头力挽狂澜的救世主。

即便物理和数学成了两个学科此后，他们之间还是是严密联络的。“回溯物理和数学的初期生前程程，你会创作创造断定一小我是物理学家仍是数学家是很艰苦的。” Woit说道。

△ 诺特（Emmy Noether）将天然界中的对称性和守恒定律联络了起来，可以说她是史上最具深切洞见的数学物理学家之一。对一些数学家而言，看到诺特的名字涌如今物理学局限是令人诧异的，因为他们除夜都是经由过程笼统代数才体味她的。| 图片本源：symmetrymagazine

纵不美不雅不雅不雅不雅不雅不雅汗青，数学和物理这两个局限都给对方供给过次要的定见。数学家外尔（Hermann Weyl）在李群（Lie group）方面的工作就为邃晓量子力学中的对称性供给了特别很是次要的根本。幻想物理学家狄拉克在他1930年的有名书本《量子力学事理》中，就独霸了狄拉克道尔塔(δ)函数来描摹粒子物理中点粒子的定见（点粒子描摹的是任何小到可以用一个点来模仿的志向化气候）。

二维的δ函数在x=0的职位的值为无量除夜，而在其他任何中心都为0。狄拉克声明δ函数的积分、也就是δ函数所袒护的面积为1。严格地讲，真实不存在具有这类性质的函数。可是狄拉克对δ函数的独霸幻想下场启发了数学家施瓦茨（Laurent Schwartz），他用严密的数学编制展开出了分布幻想。现如今，分布幻想在常微分方程和偏微分方程局限已变得极端次要。

当然现代研究人员对本身局限的存眷愈来愈多，研究局限的细化和专业化也愈来愈较着，但物理和数学的鸿沟还是恍忽。一个物理学家可以掉落踪掉落踪数学局限最具权力巨擘的奖项之一——菲尔兹奖。而一个数学家，比如Maxim Kontsevich，也可同时掉落踪掉落踪科学打破奖的物理奖和数学奖。

如今，人们可以介入由数学系或物理系举办的关于量子场论、黑洞或弦论的研究会。自2011年起，弦数学（String Math）的年度构和会议会议就把数学家和物理学家集聚到了一同，让他们一同研究弦论和量子场论中的交错局限。

弦论多是关于数学和物理彼此影响的最好示例。在弦论的幻想框架中，狄拉克所描摹的点粒子变成了一维的弦。这个幻想模型中的一部分描摹了一种被称为引力子的幻想粒子，这是一种传递引力的想象粒子。

除夜除夜都人认为我们经由过程三维的空间和一维的时分来感知宇宙。可是弦论倒是构架在十维中的。在1984年，跟着研究弦论的物理学家激增，包含后来被授予菲尔兹勋章的物理学家威滕（Edward Witten）在内的一批研究人员创作创造了弦论所需空间中的此外六个维度，被称为卡拉比-丘流形（Calabi-Yau manifold）。

△ 六维卡拉比-丘流形。| 图片本源：Jeff Bryant / Visualization

当数学家们还在为声明各类流形的筹划而辩论时，物理学家只希看能掉落踪掉落踪几个大年夜大年夜约有效的数学下场，他们找到了卡拉比-丘流形。而数学家却还不克不及断定他们对流形的区分是切确的。

当物理学家和数学家研究这些空间筹划的时辰，他们创作创造卡拉比-丘流形具有特别很是滑稽的对偶性。两个看起来无缺不合的流形大年夜大年夜约描摹的是不合种物理筹划。这面前的思惟被称为镜像对称。这类性质的研究在数学中灵敏昌隆，并构成了一个全新的数学分支。弦论的框架几近成了数学家的游乐场，带来了罕有新的研究分支。

△ 镜像对称。| 图片本源：Mike Zeng/Quanta Magazine

加州除夜学伯克利分校的幻想物理学家Mina Aganagic认为，弦论和相干的课题将会延续供给更除夜都学和物理之间的联络。

她说：“在某种意义上，我们只试探了弦论特别很是小的一部分和它多半的料想。”数学家和他们对细节的严格证实的存眷给这个局限带来了一种角度的视野，而物理学家们快活喜悦爱好把直觉邃晓放在优先职位的偏向则为我们带来此外一种视角。Mina评价道：“正因为如斯，才使得数学与物理的相干如斯令人知足。”

数学和物理的相干可以追溯到他们的劈脸；当它们不竭展开，数学和物理的纠缠也愈来愈深，它们的相干变得愈来愈宏壮。看起来它们的相干将不时多么延续下往。来自数学的已成熟的筹算对象可感应物理学家供给除夜量的辅佐。而来自物理学的试探性问题也可以鼓舞数学家创作创作创造出全新的数学模型和定见。