线性代数是初级经历中一门次要的课程，不单是理工科并且也是一部分人理科学?或选修的课程。线性代数在初级院校的讲束厄窄小置中属于较「初级」的课程，但凡是和微积分并列，作为一年级更生的数学进门课程。屈就多么的放置，线性代数按事理理应是一门斗劲复杂或随便学的课程，但理论却无缺相反，线性代数的解释注解口碑不时是恶名昭彰。和微积分比照，线性代数似乎离直觉更远、我们畴昔的数学经验极少有辅佐，一堆被称作「矩阵」的莫明其妙的数字列举被颠来倒往，进修者很难解得个中的意义，不晓得本身真正在学甚么。

线性代数课程最早时，我们但凡会被陈述「这是一门解线性方程组的学科」。此时我们的思疑多是：三元或以下的方程组我已会解了，并且解线性方程组在中学数学的内容中只占很小比例，莫非还真的需求一个数学分支除夜动干戈地进修解方程组？但理论上真实的恶梦始于进修解方程组此后。我们感应感染受愚了，线性代数的尽除夜部非分不凡容根柢不是甚么解方程组，而是一除夜堆莫明其妙的对象，除夜量的流畅难解的定见术语天天对我们举办狂轰滥炸，我们毫无抵挡之力，几近精力崩溃。良多人干脆躺平，不再究查线性代数的真实意义，勉强对考验合格了事。

工作后，人工智能除夜盛，传闻根本之一就是线性代数。不得已又得拿起书，可是那些令人生厌不知所云的言语、标识表记标帜、公式、定义、定理、证实一阵阵袭来，顿感一股嫌恶倦怠之意。假定你尽情斗劲若干很多若干本线性代数的教科书，会创作创造和微积分比照，每本书内容的列举按序都不一样，后一章和前一章在内容上没有任何承接相干，并且毫无章法，东一榔头西一棒子。就像是读《儒林外史》，每个故事都是自力成章。内容温按序的放置经常是肆意的，美尽是屈就教科书作者的主不美不雅不雅不雅不雅不雅不雅意志而定。这类尽情性，在此外数学教科书中黑色常罕有的。

可以说，进修线性代数是进修糊口糊口中最疾苦的经验之一。刚才学完解线性方程组，就转进没有甚么太除夜相干的行列式，然后又进进到莫明其妙的矩阵；折腾进向量空间还没弄除夜白，又要遭受特点值特点向量、线性算子等的熬煎。一同走来，功烈甚少，只感应感染我已成了教科书的局外人。假定你有多么的经验，那你尽不伶丁，全国全数进修线性代数的学子，多半学霸禀赋除外，尽除夜除夜都都有不异或近似的经验。

线性代数的解释注解，不时是一个令人顺手、广受争议的问题。美国于上世纪90年代还特意创建了 Linear Algebra Curriculum Study Group（线性代数课程研究小组），研究线性代数的解释注解更始问题。加拿除夜数学学会于1999年召开年会，专门构和线性代数教材的更始问题。这些专门会议会议和构造集结各路专家，经由一番研究构和后得出的结论是：Linear algebra as a cognitively and conceptually difficult subject。20年往后，线性代数的教科书展示了一些新的改削但问题并没有掉落踪掉落踪措置。良多师长教师视野性代数为畏途，谈线性代数而色变。

那么，被数学经历专家定性为 cognitively and conceptually difficult subject 的线性代数，为甚么又被指定为除夜学根本数学的进门课程？这是由这门学科的有效性决意的。不凡是新的人工智能降低带来的各类机会，使得线性代数成为数学中的显学。任何经历构造都没法忽视这门课程在解释注解中的职位，但同时使得线性代数的经历在没有齐截的科学编制的气候下盲目施教，担当任的教员在各显神通，不担当任的教员在照本宣科，而解释注解损掉落踪落败的下场皆由师长教师回结综合领受，良多人卒业多年，至今仍不晓得线性代数幻想下场是一门甚么样的学科。在 Quora 中，甚至有教线性代数的教员多么问：

What is the point of linear algebra?

How can I motivate students to study this?

Are there any tangible reasons why students should study linear algebra?

我本身的线性代数进修，一样也经验了这个疾苦过程。迄今为止一共学过三遍，最痛切的感应感染就是：没有一部教科书可以无缺邃晓。并不是是内容本身没法邃晓，而是不晓得为甚么要学这个！线性代数每个部分的细节都可以邃晓，也会做题，可是没法从定见上拼成一个无缺的全图，我的思疑和上面阿谁教线性代数的教员的那三个问题根本不异，就是 point、motivation 和 tangible reason。

幻想下场让我「开窍」的，是后来风行全国的3Blue1Brown的视频系列《Essence of Linear Algebra》—— 这是我见过的全国上最好的线性代数讲座，建议全数想细心进修的初学者都理应起码看一遍（这个视频在B站已有中文版）。

可是仅仅靠这个视频讲座，离无缺掌控线性代数的根本思惟、根本架构、各个常识点之间的联络还差得很远。在此根本上，我又精读了一些数学大年夜师的经典之作，泛读了除夜量口碑较好的教科书和一些论文，深深感应感染需求在这个视频讲座的根本之前程一步提炼线性代数最根本、最本质的定见，从头构造、架构全数常识琐细——起码让这个常识琐细成为一个有序空间，揭穿各个话题之间的逻辑延续相干。如今这个笔记系列就是我本身进修后对线性代数这门课程举办反思的下场。在这个笔记中，我试图将线性代数的内容从一个根本定见识缆，用一个不合的框架一样往常化，构成一个具有严密逻辑相干的常识琐细。这个最根本的定见就是【基】(basis)。在这个笔记系列之前，作为考验考验，我曾在豆瓣【日记】写了一系列的《从零最进步先辈修线性代数》的笔记，试图展示我对线性代数根本思惟的邃晓。此后《从零最早》系列还会延续下往。这两个系列的重点不合，《从零最早》系列起点斗劲低，言语尽大年夜大年夜约深化，不求数学的严谨，只求让尽大年夜大年夜约多的人邃晓。而本系列将斗劲「峻厉」，formal，更像是真实的进修笔记。

本篇笔记作为开卷第一回，不筹算深切技能细节，而是展示进修线性代数的motivation 和 point，和线性代数的中心思惟，由此而引申对全数数学进修的反思。

回到问题，为甚么我这里主意将线性代数作为数学进修的起点？起首声明，这只是我小我和一部分人的不雅不雅不雅不雅不雅不雅不美不雅不雅不雅不雅念，远不是经历界的共叫，但正在激起愈来愈多人的共叫。本篇笔记对这个不雅不雅不雅不雅不雅不雅不美不雅不雅不雅不雅念的展开，根本是在讲「除夜事理」而没有存眷进修者进修时的选择计策。

为了使构和愈加了然，起次要澄清我这里所说的「进修数学」中的「数学」指的是甚么。这里的「数学」，不是泛指，而是特指20世纪往后产生发火、展开、成熟后的现代数学。它劈脸于古希腊以逻辑推理为根本的欧几里得的《本来》，其特点是公理化。这个传统在20世纪初经希尔伯特的公理化行动和1930年代布尔巴基学派的数学重构此后，已定型为编制化、筹划化，高度笼统化的基于逻辑推理演算的公理琐细。

绝对这集琐细，我们在中学所进修的数学和衍生出的考验琐细、包含中考、高考、考研和面前的宏除夜财富，除夜致相当于中国传统意义上被称为「算学」的学问。算学与数学的分辨在于，前者存眷特定理论问题标措置，后者存眷幻想琐细的自洽与无缺，措置具体问题仅仅是幻想琐细的独霸。如今我们所领受的数学经历无一不是以做艰苦为方针，以刷题为身手，个中心思惟与精力属于「算学」，而不是这个特定意义上的数学。

而线性代数，则是无缺离开了「算学」局限的最初级的公理化数学，是以，要进修这个特定意义上的【数学】就需求从线性代数最早。与此绝对，初级微积分还是是在「算学」的局限以内，我们借助导数、微分、积分公式，代进理论问题解题，这个和中学的数学编制没有本质的不合。线性代数之所以让人感应感染目生，其出处之一就是扔掉落踪「算学」，最早从筹划的定见，公理化的架构展示「数学」。有了对「数学」定见的了了定义，上面就展开谈一下这个问题。

1、数形同体是线性代数的中心思惟

进修「数学」理应从线性代数最早的第一个出处，在于湮没于后来的根本思惟，是对数学中两个最本质的对象——数与形性质的再熟谙和再塑造，而不像微积分，引进全新、目生的定见。数与形，是我们再熟谙不过的两个定见。比如我们都学过若何求长方形的面积，这理论上是我们生平第一次将外形（大年夜小）的定见和算数联络在一同。我们学得了长方形的面积是一个乘法运算：长 × 宽，但还没有有反向的认知：长方形是乘积的若干很多若干笼统，屈就逻辑的术语——若干很多若干诠释。可是，经由过程面积求解的问题，跟着我们熟谙、筹算更宏壮若干很多若干对象的面积、体积，对数与形之间的相干有了愈来愈深的邃晓。到了中学，算数变成了代数，我们很少再对具体的数字感欢欣乐乐喜悦爱好，更多的时辰是在独霸标识表记标帜。以等号为界，把单方的字母屈就根本的代数轨则移来移往，掉落踪掉落踪我们想要的下场。这时辰，分析若干很多若干展示了，这门课程借助直角坐标系更琐细地展示了若干很多若干图形与代数标识表记标帜之间的逻辑相干——代数方程式是对若干很多若干图形的「代数诠释」，这使得我们不必再画图，而是借助代数方程来展示图形、求解问题。同时，函数定见使我们进一步体味到若何将数「投射」到坐标系上掉落踪掉落踪直线或曲线。函数的代数表达式，可以经由过程直线和曲线掉落踪掉落踪「若干很多若干诠释」。到了最进步先辈修线性代数的时辰，我们将要创建的是一种愈加了然了了、愈加一样往常的数形联络：任何代数对象都可以找到照顾的若干很多若干诠释，任何若干很多若干对象都可以找到照顾的切确或近似的代数描摹。这理应是我们最进步先辈修线性代数时创建的最根本认知——数形同体。

线性代数，是一门将代数→若干很多若干、若干很多若干→代数之间的相干进一步升华——将静态「图形」变成静态「动画」的学问。产生发火「动画」的根本机制是静态的代数若干很多若干关系——线性转换。一个线性转换，就像是视频或GIF的一幅帧图。假定说，分析若干很多若干是从代数的角度研究若干很多若干，函数是经由过程若干很多若干图象诠释代数，那么线性代数则无缺将代数和若干很多若干熔化为一个集团，一个数学对象的一体两面，就像人的两只臂膀一样，不成豆割。再说一遍：数形同体。

2、线性代数对数定见的扩大年夜大年夜

线性代数使我们从头思虑甚么是数，使我们从头思虑甚么是数学，使我们从头思虑数学和算学的分辨。思虑编制不是拥抱全新的定见，而是对已知定见的扩大年夜大年夜大年夜大年夜、延长、升华、细化与笼统度的进步。这一点，和微积分很不不异，因为极限是全新的定见，对极限的邃晓需求很高的定见汲引门槛和质的奔驰，延续、改削、极限、无量小等都是我们常识蕴躲全无的定见。

最进步先辈修线性代数，起首需求从头邃晓数学最本质的问题。这个第一问就是：数是甚么？数是从何处来的？对第二个问题屈就我们的幻想经验可知，数定见的产生发火，有两个根本本源：

计数（数人头、盘点）

测量（独霸对象衡量物理对象某个特点的大年夜小、若干很多若干良多若干很多若干良多若干很多若干）

而数，是经由过程计数和测量这两种活动后对所掉落踪掉落踪的量值标识表记标帜的表达，这个标识表记标帜琐细的元素就是+++数字。掉落踪掉落踪了数，我们的第必定见就是：数有大年夜小。有了大年夜小的定见，两个数便可以举办斗劲，多个数便可以屈就大年夜小按序列举。从计数活动，我们掉落踪掉落踪了天然数的定见；从测量活动，我们掉落踪掉落踪了小数和分数的定见。而更一样往常的有理数、实数和双数定见则是在介入筹算、不凡是经由过程解方程这一类数学活动掉落踪掉落踪的。

我们对数的第二次邃晓是经由过程数轴完成的。数轴，让我们晓得了数的若干很多若干诠释就是直线上的点，同时，经由过程数轴和正负数，我们掉落踪掉落踪了标的方针的定见：数不单有大年夜小另有标的方针，可以把数投射到直线上的点。这个阶段，我们对数的认知是：数的大年夜小是肆意的，但数的标的方针只需向左的 180° 和向右的 0°，展示数标的方针的身手是数的正负号；而数的若干很多若干诠释是在一条程度直线上点的一字排开线性序列。

后出处于解方程，我们熟谙了虚数，虚数把数的标的方针扩大年夜大年夜大年夜大年夜到了 90°（向上） 和 270°（向下），数的若干很多若干诠释不再仅仅是程度直线上的点，并且可所以垂直直线上的点。把实数轴和虚数轴组合，构成立体，叫作复立体。而因复立体，我们对数的认知产生发火了奔驰。在我们的眼中，数最早有了立体感。数的若干很多若干诠释，变成了在立体上、而不单仅是在直线上的点。展示一个数，用单个的+++数字已不足，需求两个数字和一个加法运算标识表记标帜，a + bi，由此我们定见了更除夜的双数系。双数系的展示，对我们的认知是反动性、倾覆性的。它的反动性、倾覆性意义有四点：

1. 数，不单有大年夜小、有标的方针，还必须有维度。有了维度，数的定见就不再是一个原子定见，而是复合定见，是由多个分量屈就加法轨则构成的复合对象。在立体上的数的一样往常展示编制是：+。

2. 加法，被授予了新的意义：除可以展示不合维度上两个量的叠加，还可以展示维度的数量。比如双数的一样往常编制 +，代表这个数是两个维度的。

3. 数轴，本来作为数的一维若干很多若干诠释，如今成为更除夜维度的坐标系的一个部分。有了立体坐标系往后，数轴就不再仅仅是程度直线，而可以扩除夜定义为二维立体上的过原点的肆意直线，亦即，数轴舒适面直角坐标系共享一个原点。可以想像的是，在立体坐标系上，可以定义罕有条数轴。有了肆意数轴的定见，推而广之，立体直角坐标系在三维空间，便可以定义为和空间直角坐标系共享原点的肆意立体坐标系，近似的，在空间坐标系中可以定义罕有个立体坐标系和数轴。

4. 有了一维的数轴、二维的立体和三维的空间的定见，我们可以将它们一样往常化，笼统化，同必定义为【空间】。它们之间独一的不合是维度。有了这个笼统的【空间】定见，我们便可以定义超出三维的肆意维度的空间，甚至是无量维度的空间。因为一维的数轴被包含在二维的立体，二维的直角坐标系被包含在三维的空间，所以，我们把 n-1 维的空间称作 n 维空间的【子空间】(subspace)。

这是对数与形的反动性、倾覆性的认知。数，如今是作为一个复合定见，既是代数定见，也是若干很多若干定见，数的大年夜小、标的方针和维度必须求在空间这个语境中才调断定、才居心义。线性代数的主题，就是研究在空间的气候下数作为一个【数形同体】的对象，它的各类性质和独霸轨则。

空间，作为线性代数中展示的新的数学对象，屈就我们上述的理念，也必须是一个代数若干很多若干综合定见。对三维以内的空间，我们已末尾体味了它们的若干很多若干笼统，按序是：一维的数轴、二维的立体、三维的立体空间。可是这远远不足。线性代数的义务有两个：

第1、空间本身的代数描摹和若干很多若干诠释是甚么？

第2、空间是由哪些元素构成？若干很多若干元素和代数元素。

为了构和利便，我们将一维空间、二维空间和三维空间分袂构和。在构和之前，我们需求对一些复杂的代数若干很多若干定见再确认。

点】：点、是若干很多若干学无定义的笼统定见。在一维空间的直线上，断定点的职位需求一个数字，比如3；在二维空间的立体上，断定点的职位需求两个数字，比如 (3,2)；在三维空间，断定点的职位需求三个数字，比如 (3,2,1)；以此类推，在 n 维空间，断定点需求 n 个数字，比如 (a1,...,an)。

【直线】：直线在若干很多若干学中的描摹是：点在空间内沿不异或相反标的方针行动的轨迹，没有绝顶。这里的重点是：直线可以无量长；在立体上断定直线的职位是直线方程 ax + by = c；

【立体】：立体而直线近似，是直线在空间内沿不异或相反标的方针行动的轨迹，没有边沿。在空延续定立体的职位是方程 ax + by + cz = d；

【空间】：这里特指三维空间，是立体在空间内沿不异或相反标的方针行动的轨迹，没有边沿。

【线段】：绝对直线，线段有起点和绝顶的点的行动轨迹；起点和绝顶之间的距离可以测量，叫作长度。

【平行四边形】：绝对立体，平行四边形是有四条边和结实面积的立体；

【平行六面体】：绝对空间，平行六面体是由结实体积的立方体；

【原点】：在一维、二维和三维空间延续定此外点职位的中心参照点；

一维空间

一维空间的若干很多若干诠释是一条由罕有个指定为单位长线段构成的直线，又称作数轴；

一维空间的代数展示是以 1 作为基数的数的集结，和在这个集结之上的加法乘法运算；

一维空间的若干很多若干元素直线上罕有的点；

一维空间的代数元素是以 1 为基数的数。

一维空间是我们最体味最熟谙的数学对象。一个数，比如 3，它的代数展示就是这个数本身；它的若干很多若干诠释就是在数轴上离原点向右三个单位的点。这里一维的意思是，从代数角度看，只需求一个数字便可以展示这个数；从若干很多若干角度看，展示这个数的点都在一条程度直线上。所罕有都可以在这条数轴上找到照顾的点，数轴上全数的点都对应一个且仅仅一个数，它们的对应是一对一的相干。同时，这条数轴本身代表了对应所罕有的点。是以，所罕有的全数，代数定见就是数的集结，若干很多若干定见就是这条数轴本身。

二维空间

二维空间的若干很多若干诠释是一条由罕有个指定为单位正方形段构成的立体，又称作立体直角坐标系；

二维空间的代数展示是以 ((1,0),(0,1)) 作为基数的向量的集结，和向量加法、标量乘法运算；又称作向量空间；

二维空间的若干很多若干元素立体上罕有的点，称作坐标值

二维空间的代数元素是以 ((1,0),(0,1)) 为基数的向量。

二维空间对我们来讲既不是无缺目生也不黑色常熟谙。我们曾在中学学过立体直角坐标系，学过函数，学过分析若干很多若干，对立体图形有必定熟谙。可是，代数和若干很多若干是无缺不合的数学对象这一不美不美定见在我们思惟中仍是根深蒂固的。线性代数则是要裁撤这个藩篱，让代数若干很多若干融为一体。

我们先来看二维空间的若干很多若干诠释。假定说一维空间是由罕有个单位长线段构成，那么二维空间就是由罕有个单位面积的正方形构成。就像我们家里浴室墙上贴的瓷砖，一堵墙是由多片瓷砖构成。由罕有个单位正方形构成的立体又称作立体直角坐标系。有了这些单位正方形，我们便可以在这个立体上断定肆意点的职位。

二维空间的代数展示超出了我们中学的局限，亦即，我们若何用代数表达式表达这个单位面积的正方形。在数轴上展示单位线段很随便，用一个点，照顾的用一个数字 1 便可，这个 1 展示从原点解缆我们计数的根本单位。可是，在立体上，就需求两个点，一个是正方形程度边到原点的距离 (1,0)，此外一个是正方形垂直边到原点的距离 (0,1)，把这两个点合在一同，才调无缺展示这个正方形：((1,0),(0,1))。这类展示法，在线性代数中，称作矩阵：[1001]

[

1001

]

所以，这个矩阵所对应的若干很多若干笼统就是阿谁单位正方形两个直角边绝顶的坐标值。这个值，叫作【基数】。深化地说，在数轴上数天然数，我们是一条线段一条线段地数；而在立体直角坐标系上，我们是一个方格一个方格地数。所以，在二维空间计数，就是用一个方格乘以方格的个数。举个例子：在坐标系上，以原点为参照点，向右掉落踪掉落踪三个正方形，向上掉落踪掉落踪两个正方形，一共掉落踪掉落踪 3 × 2 = 6 个正方形。这个在直不美不雅不雅不雅不雅不雅不雅上特别很是随便邃晓。可是在线性代数展示上，就不那么直不美不雅不雅不雅不雅不雅不雅了。筹算事理很复杂，一个方格，乘上向右的三个方格，向上的两个方格。我们用上面的矩阵展示单位方格，用一个竖着写的向量展示向右得3、向上得 2 个方格：

[1001]⋅[32]=[32]

[

1001

]

⋅

[

32

]

=

[

32

]

意思是，一个方格 × (3, 2) = (3,2) 个方格。那若何掉落踪掉落踪 6 个 方格呢？线性代数用的对象叫作「行列式」，写作：

([1001]⋅[32])=([3002])=3×2=6

D

e

t

(

[

1001

]

⋅

[

32

]

)

=

D

e

t

(

[

3002

]

)

=

3

×

2

=

6

把上面的例子总结一下就是：在数轴上数数，我们是用单位长线段乘以个数掉落踪掉落踪数；在立体上数数，我们是用单位正方形乘以程度标的方针的个数和垂直标的方针的个数掉落踪掉落踪数。

就像我们上面回结综合笼统空间的定见一样，我们如今需求笼统化每个空间中的单位元素的定见，这个定见叫作【基】(basis)。「基」，回结综合了一维数轴中的单位线段，二维立体上的单位正方形，三维空间中的立方体。

而【基】的代数描摹就是矩阵。所以，在任何维度的空间中数数，根本的编制就是：基 × 每个维度的数，写成公式，就是：矩阵 × 向量 = 向量。

对数学对象的集结而不是集结中浅近对象举办研究，是现代数学的最除夜特点，也是与算学最较着的不合。经由过程线性代数的进修，我们可以进一步深切熟谙代数的以下本质：

代数的研究对象是【标识表记标帜的集结】和在这个标识表记标帜集结前程行【独霸的各类轨则】

反过往，这类将研究对象从浅近数学对象扩大年夜大年夜大年夜大年夜到对象集结的研究编制又对研究浅近问题供给了洞见和立异的灵感。比如伽罗瓦的群论，为解高次方程指了然标的方针：为甚么五次和五次以上的方程没有一样往常的代数解？有代数解的高次方程和没有代数解的方程的分辨在何处？再比如，线性代数的最除夜独霸之一就是解多元线性方程组。现代意义上的公理化数学和传统的以措置浅近问题标「算学」的最除夜分辨就在于琐细性，是对以集结与集结上运算轨则为中心定见的研究。

3、数学的代数化

线性代数的进修，使我们可以定见甚么是数学的代数化。屈就上面对代数本质的描述，这里给出了代数的定义：

代数是研究标识表记标帜集结与该集结之上独霸轨则的数学分支。

这个定义的关头词是「集结」和「独霸轨则」，断定研究对象的集结，比如、数的集结、函数的集结、向量的集结、矩阵的集结、多项式的集结等，然后断定在这些集结之上可以举办哪些独霸，进而断定这些独霸的根本轨则——公理。从这些公邃晓缆举办推幻想证，产生发火数学证实，掉落踪掉落踪数学定理。以这些公理、定理为对象可以措置多种科学问题。把这一套琐细幻想化，我们可以掉落踪掉落踪一个笼统的数学定见：【筹划】，这个过程就是数学的代数化。假定这个代数化的数学筹划可独霸一阶逻辑言语表达，就称作数学的编制化，或，该数学分支的公理琐细。数学计规定见的创建和一阶逻辑言语的完竣对接，构成了数学筹划的言语接口，这使得数学愈加精细无缺。可是，在数学家们对多么的超卓的幻想感应嘉奖的同时，此外一方面，对进修数学的初学者来讲，多么数学变成了流畅难解的天书，进修的恶梦，因为多么的数学，使得一些无缺可以用往常言语邃晓的定见成了数学代数化、公理化、编制化的殉国品，使得除夜除夜都人视数学为畏途，谈数学而色变，数学成了多半学霸精英的乐土。

4、线性代数可让我们深切邃晓数学的本质

进修线性代数，真实不单仅是进修个中的根本术语、定见，而是从中进修上面所指出的更本质的对象——代数若干很多若干一体化的数学对象集结。可是理论是，全数的数学教科书、包含线性代数教科书在内，过量地朴实了上面第三点的数学的编制化特点，以巨人难以邃晓的一阶言语语法，加上除夜量的、在往常糊口中从未展示过的术语和高度笼统的定见，使得这门学问成为曲高和寡的阳春白雪。我们需求多么的带领，不是从陋劣又艰深的术语最早，而是从数学的本质解缆，将那些笼统艰深的定见抽丝剥茧，对接我们熟谙的理论全国。教员曾说过，感遭到了的对象，我们不克不及当即邃晓它，只需邃晓了的对象才更深切地感应感染它。我们如今的数学经历，只是让我们经由过程刷题「感应感染」数学，而从未将「邃晓」作为数学经历的本质。

5、线性代数更单方面地展示了数学的全貌

现代意义上的数学，是一个综合体，它集成了本栏目赐顾帮衬书记栏中总结的六个方面。线性代数是这六个方面最类型的学科，也是进修此外学科的根本。这个根本就是上面所说的代数化——数学筹划的进修。而与此绝对应的微积分或数学分化，是关于实数、延续和改削这三个定见的学问。可是这三个方面，只是数学本质的部分总结，我们如今还没有法无缺对分化举办无缺的公理化和代数化。同时，对无量、无量这些定见，可否已从底层定见掉落踪掉落踪措置仍没有定论。

6、线性代数可以直接完成筹算机措置

数学的物理化——筹算机化的过程揭穿了分化学中除夜部分定见是形而上的、只存在于见识中的对象，没法落地具现化。要将多么的数学对象在筹算机上完成，就必须经由聚会化的更始，变成像线性代数那样的有真实证的、物理的根本的对象。比如，我们可以直接独霸编程言语的数据圭表类型编码向量、矩阵、多项式之类的数学对象，却没法描摹幻想意义上的极限制见。求曲边形面积，我们只能独霸积分的数值解法（定积分的聚会化），把无量小的子面积ƒ(x)dx 聚会化为一个断定的量然后独霸有穷数方针加法完成片面子积的筹算。而线性代数之所以能完竣地在筹算机上完成而不须经由所谓「数值化」亦即聚会化过程，这当然和线性代数的本质——线性相干有关，可是不成否定的是，线性代数是无缺代数化的数学分支，而代数化是数学走向无缺算法化、主动化的根本。线性代数是进修数学筹划——代数筹划最志向的实例。有了对线性代数的深切邃晓，便可以从更高的代数筹划视角不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅查询拜访、核阅此外数学分支，比如数论，比如分化等。

7、线性代数是对各类数学对象的笼统，也是进修此外更高数学学科的根本

更次要的是，线性代数供给了一个平台，使我们可以单方面邃晓多种数学对象集结的特点：数集、向量集、矩阵集、函数集和多项式集，这个邃晓的根本就是代数筹划。有了代数筹划，便可以派生良多此外数学分支：代数数论、代数若干很多若干、代数拓扑、代数概率论等，而微积分的代数化——代数微积分，如今也有人在考验考验。总之，数学的编制化就是代数化，用代数筹划作为不合的接口，多么便可独霸一阶逻辑言语举办不合的描摹，为将来的数学无缺算法化、主动化展平路途。

我在本栏方针赐顾帮衬书记栏中列出了数学进修的六个方面，这六个方面，也是我们进修线性代数的进修指针和标的方针。这里再次列举以下：

琐细地进修甚么是笼统，笼统的过程、笼统过程后的下场、若何笼统，操练本身的思惟从具体到笼统，从低度笼统到高度笼统的身手，充分熟谙、熟谙、邃晓各类不合笼统度的数学对象。数学的进修，真实进修各类不合笼统度的对象，不单熟谙往后所学对象的笼统度，还可以降维，掉落踪掉落踪笼统度较低一层数学对象的实例。邃晓笼统的理论对象是【集结】的定见和照顾的集结运算。

进修数学的公用言语，一阶逻辑言语。数学之所以流畅难解同时被标榜紧慎密密切确，和数学所独霸的言语不有相干。当然中外教科书都独霸天然言语，但我们会创作创造教科书中的数学言语和我们理论糊口中的言语有很除夜的不合，并且这类不合不是琐细的、有时的、浅近的气候，而是琐细的、单方面的不合。本质上，数学教科书中的言语是一阶逻辑言语的直译。同时，数学文本中独霸了除夜量的标识表记标帜，包含拉丁、希腊字母，出格的非线性标识表记标帜，如和、积标识表记标帜、积分标识表记标帜，极限表达式、矩阵等。这里需求寄看的是：数学教科书中的定义只体恤定见在往后笼统度上的意义，而不体恤不才位笼统度的诠释和声明，假定进修者没有抵达和作者齐截的笼统度的认知高度，那么书中的定义、声明、诠释将是是毫有时义的，这就是数学难解的最基前导发端根本因。我经常被一些同窗请求供给进修数学教科书，但不幸的是，尽除夜除夜都教科书都是数学专业人士的作品，他们只是在他们本身的笼统度中诠释需求诠释的定见，术语，而不会降维诠释。这就像你不会讲外语，我再若何用外语诠释外语，你还是听不懂。所以，读懂数学文本的关头，起首是进修数学的言语，包含作为词汇的各类标识表记标帜，一阶言语独有的语法，格式，和对全数表达式的语义的邃晓。

数学的进修包含了筹算和证实两除夜活动。我们的经历这两种活动的解释注解是单向的，从措置问题本身解缆，进修若何解近似问题。华罗庚师长教员在《数学回纳法》曾提到，理应从正反两个标的方针措置问题，除学会从教科书的示例从问题提出最早解缆，掉落踪掉落踪已知前提，需求措置问题标对象，设置赞助前提，屈就必定的轨则、定义、定理和逻辑推理措置问题，还要学会从问题标谜底反推这个问题是若何产生发火的。同窗们在解一道艰苦，可否想过出这道题的教员是若何筹划这道题的，要筹划多么的题，需求哪些常识、包含数学常识、逻辑常识、常识分化、综合分化剖断的常识等。是以解数学问题，理论上是数学常识和逻辑常识的综称身手的闪现。此外一方面，我们在刷题过程中掌控了除夜量的「题型」，却不会从中掉落踪掉落踪算法的定见，然后从算法的角度邃晓做题的本质。第三方面是对证实题的掌控。证实题，说幻想下场就是以数学内容作为推幻想证的过程，除邃晓各个数学对象之间的相干外，最次要的是掌控逻辑论证的编制，因为做证实题的过程就是逻辑推理的过程。

数学笼统定见的实例化邃晓。这个和上面的第1、2严密相干。我们经由过程进修笼统化过程，不单可以将具体的对象集结笼统，可以将低笼统度的对象、定见抽行动高笼统度的对象、定见，还可以反向，将高笼统度的定见、对象、术语恢复为低笼统度的定见、对象，把低笼统度的定见、对象恢复为具体的对象实例。这类从具体到笼统，从低笼统度到高笼统度、再从笼统到具体，从高笼统度到低笼统度的双向转换，是我们进修数学是最最次要、最根本的操练活动。但吝惜的是，如今很少有人寄看到、意想到这个问题，期看有人在这个方面给以我们带领更是不成能。

数学的笼统和哲学的笼统有良多近似点，二者都是从形而上的角度诠释全国。但二者不合的是，数学对全国的诠释是微不美不雅不雅不雅不雅不雅不雅的，具体的、严密的、切确的，逻辑的，而哲学对全国的诠释是宏不美不雅不雅不雅不雅不雅不雅的，论说的，散列的，恍忽的、定性的。假定熟谙到数学与哲学的这层相干，对我们熟谙全国改削全国具有重除夜的意义。马克思曾说过，攻讦的刀兵不克不及庖代刀兵的攻讦；毛主席也说过，人类熟谙全国的方针是更始全国。我们经由过程对数学和哲学比照的熟谙，可以独霸数学作为措置问题标对象，同时，在有了哲学高度此后，对这个对象会产生发火新的熟谙，甚至可以依托这类定见作为立异的源泉。

数学中存在除夜量的术语，在有了上述的定见此后，术语的进修就变成了对新标识表记标帜的诠释问题。而诠释，屈就逻辑学术语，则是对标识表记标帜与模型之间的绑定过程——将数学术语与理论经验的联络问题。

而完成上面的理念，线性代数是一个特别很是志向的平台。起首，我们可以经由过程线性代数，邃晓任何数学对象都有代数若干很多若干两个正面，从而掉落踪掉落踪相干数学对象的笼统，这个过程是我们操练本身学会从具体到笼统，从低笼统度到高笼统度的转换，操练本身学会照顾的反向转换；第2、进批改义化的编制言语——一阶逻辑言语，操练本身可以在天然言语和人工言语之间的彼此翻译；第3、对线性代数中的全数笼统定见、术语，可以屈就笼统度降维的编制掉落踪掉落踪深切的稀少的邃晓。第4、经由过程做证实题，掌控逻辑论证的编制，做筹算题，掌控算法的定见，以算法管辖全数数学进修；第5、掉落踪掉落踪对所进修对象的高笼统度邃晓——哲学式的的邃晓。比如，向量空间，是一个笼统了多种***对象的集结体，它的实例表达可所以向量集结、矩阵集结、多项式集结、函数集结全数实例的总和。这个问题标哲学命题就是——事物存在的编制、它们之间的联络和行动（转换）的轨则与规律。

此后的【线性代数】系列，将从微不美不雅不雅不雅不雅不雅不雅的角度参议以下主题：

若何经由过程操练，创建和进步本身笼统思惟的身手

一阶逻辑言语与天然言语的互译

作为所罕有学根本的**集结**，**筹划**，这是进修线性代数和此外所罕有学常识的前提和必须

数的劈脸：计数与测量；幻想化：德国数学家外尔的「坐标化」定见

基，是全数聚会化数学对象的根本元素，是进修线性代数的起点

加法运算和乘法运算：是定义任何线性空间的根本对象；标量/纯量的定见

代数筹划：集结 + 独霸轨则，线性代数是若何完成这个框架的

向量空间：复合代数筹划，双代数筹划的实例

基定见在向量空间定义的根本：张成、线性自力性

一阶言语在线性代数的独霸：公理化展示

解方程组：数学的算法化和筹算宏壮性

对数学对象的怀抱：行列式与内积空间

矩阵与算子的定见

征值与特点向量

向量的变体：多项式——若何从高笼统度邃晓向量与多项式的不合

线性转换：向量空间内的动画科学与艺术

此外话题，将随时更新。

本系列作为将数学中心内容与逻辑融为一体的末尾考验考验，我将称之为「逻辑数学」—— 编制琐细与代数筹划构成的代数公理琐细的实例——向量空间。这个考验考验的方针则是经由过程一门最类型数学分支——线性代数展示数学逻辑中的编制琐细，代数筹划，编制言语的句法和语义，然后降维到一个公允的笼统度，以掉落踪掉落踪真实的邃晓而不单仅是做题身手上的谙练。

本系列的真正方针，是试探一条新的、更契合线性代数常识逻辑规律的、使初学者更随便接近的线性代数解释注解琐细。

将来笔记系列中的思惟灵感除我的书单开列线性代数教科书、专著以外，还来自于以下三部文献：

- 沙法列维奇《代数的根本定见》

- 柯斯特利金《代数学引论（第一卷）》

- 赫尔曼·外尔的教材稿《The Classical Groups》关于 coordinatization 的定见