正二十面体有若干很多若干良多若干很多若干良多若干很多若干个改削对称？上面是一个筹算的编制。选择正二十面体的一个顶点v，令v’是其相邻顶点之一。一个正二十面体有12个顶点，所以在改削往后，v可以勾留在这12个中心。在晓得了v的往神往后，v&39;在改削往后还是与v相邻）。在v 和v’的往向断定了往后，再也没有其他选择了，所以选中对称的总数是5×12=60。

这是计数论证的一个复杂例子，即答复“有若干很多若干良多若干很多若干良多若干很多若干个”这类问题标谜底。可是，“论证”一词起码和“计数”一样次要，因为真实不是把全数的对称排成一排，然后“1，2，3，…，60“”多么数下往。相反，我们是提出了选中对称的总数为5×12的一个出处。在这个过程停止之时，我们对这类对称的体味也超出了仅只晓得其总数。理论上，还可以进步一步，证实正二十面体的改削群为 A_5，即含有5个元素的交错群。

切确计数

上面是一个斗劲精细的计数问题。一个 n 步的 1 维随机游动就是一串整数a_0，a_1，a_2，…，_an，使得差a_i - a_(i-1)或为1或为-1。比如，0，1，2，1，0，-1就是一个7步的随机游动。从0最早的n步随机游动的总数为2^n，因为每步都有两种选择（加1或减1）。

如今试一个略微宏壮的问题。有若干很多若干良多若干很多若干良多若干很多若干长度为2n的起点与绝顶都在0处的随机游动?（我们看长度为 2n 的游动，是因为起点和绝顶不异的随机游动必有偶数步）。

为了思虑这个问题，用R和L（分袂展示“右”和“左”）庖代加1和减1。这就给出了从0最早的随机游动此外一种记法，比如上面的游动0，1，2，1，2，1，0，-1如今便可以记为RRLL。一个从0最早的随机游动绝顶也在0处的充分需求前提是R 的个数与L的个数不异。此外，假定晓得了R的职位，也就晓得了全数游动。所以，要计数的总数就是在2n步中拔取n步为R的拔取编制的个数，大年夜师晓得这是

如今来看一个相干的量，可是要决意它就颇不随便了，这就是步长为 2n 从0 最早也到0为止，可是过程中不克不及取负值的随机游动的总数 W（n）。这个问题用上一个问题（2n =6）的记号来写，就是请求列出全数的长度为6的随机游动，它们是∶RRRLL，RRLRLRL，RRLLRL，RLRRLL，和RLRLRLRL，一共有5个游动。

这5个游动中有3个不成是从0最早也到0停止，并且在过程中还访谒过0 一次，RRLLRL在第4步后访谒了0；RLRRLL在第2步后访谒了0；RLRLRL在第2步和第4步后都访谒了0。假定长为2n的游动直到第 2k步往后才第一次访谒0，是以 2k 步往后余下的部分就是一个包含 2（n - k）步从0 最早也到0 停止，且过程中尽不为负的游动，这类游动共有 W（n -k）个。至于后面的 2k 步，除肇端一步是从R起，末尾一步是到L止，中心另有2（k-1）步是从1起，到1止，并且过程中不会有小于1的游动。这类游动的个数较着与W（k-1）不异。多么，因为第一次访谒0必定是在第2k步后产生发火，这里k在1和n之间，所以W（n）必知足略微宏壮一点的递回相干

个中理应取 W（0）=1。

这就使我们可以筹算出前几个W值，有W（1）=W（0）W（0）=1，真实这个气候直接来看愈加随便，因为这类游动只能是RL。然后，W（2）=W（1）W（0）＋W（0）W（1）= 2。再就是 W（3），也就是上面说的那一种6步游动的个数，等于W（2）W（0）＋W（1）W（1）＋W（0）W（2），也就是5，是以证了然刚才的筹算。

当然，假定想对除夜的n，比如n=10^10，算出W（n），直接独霸递回公式就不是一个好主意了。可是这递回相干的编制相当斑斓，可以用生成函数来措置.

为了看出这里的问题与那儿何处的构和的相干，把字母R和L分袂代以方括号&34;和&34;。是以一个合法的方括号记法就相当于一个永不为负的随机游动。

以上的论证给出了一个切确筹算出W（n）的有效编制。数学中有良多此外切确筹算论证的例证，上面仅仅给出4个例证，它们只是一个小小的样本，数学家们晓得若何切确筹算这个样本里所选定的问题里的量，而不必乞助于“硬算”。

（1）立体被n条直线豆割隔所成的区域的数量r（n），但这些直线中没有平行的，也没有三条直线共点。对n=1，2，3，4，r（n）=2，4，7，11。不难证实r（n）=r（n-1）＋n，由此便可导出r（n）=n（n＋3）/2。这个命题及其证实可以奉行到高维气候。

（2）把n写为四个平方和的编制的数量s（n）。在这个问题中，准予把零和负数的平方都算进往，并且把不合挨次递次的写法都算是不合的下场。

可以证实，s（n）等于n的那些不是4的倍数的因子的和数再乘以8。比如12以1，2，3，4，6，12为因子，个中1，2，3，6不是4的倍数，所以s（12）=8（1＋2＋3＋6）=96，个中的不合编制就是由

或把正整数换成负整数掉落踪掉落踪的各个平方和。

（3）若何筹算空间R^3中与四条给定直线L_1，L_2，L_3和L_4都订交的直线的数量。这里请求这四条直线处于“一样往常职位”，

所谓“一样往常职位”就是说这四条直线的彼此职位没有出格的中心，比如请求个中两条要平行，或乞呵部这些直线都要彼此订交，而不克不及有中学立体若干很多若干课里讲的“异面直线”之类的气候，如斯等等，都不叫“一样往常职位”。

有多么的下场，经由过程肆意三条多么的直线，必有R^3中的一个二次曲面（quadric su***ce），并且这个二次曲面是独一的。如今过L_1，L_2，L_3作一个二次曲面，记为S。

这个曲面有一些滑稽的性质。次要的性质就是可以找到直线的延续族（即直线的一个集结 L（t）使得每个t对应于不时线，并且此直线对t为延续的），它们合营构成了曲面S，并且包含了L_1，L_2，L_3中的每个。此外，另有此外一个延续的直线族M（s），使个中每条直线均与L（t）的每条直线订交。当然也会与L_1，L_2，L_3都订交，而每条同时与L_1，L_2，L_3都订交的直线也都包含在M（s）中。

可以证实，L_4必定与S正好交于两点P，Q。P位于第二族直线的某一条（设为M（s））上，Q则位于此外一条M（s&39;）与全数四条直线L_i都订交。可是与全数四条 L_i都订交的直线必定属于M（s），从而必定经由过程P，Q中的某一点（因为M（s）的直线都位于S上，而 L_4又与S 仅交于这两点）。所以，与全数四条直线L_i都订交的直线的条数为2。

这个问题可以有相昔时夜大年夜大年夜的奉行，并且可以用一种称为 Schubert 筹算的身手来措置。

（4）设正整数 n 可以用 p（n）种编制来展示为正整数之和。比如当 n = 6 时，p（6）=11。函数p（n）成为豆割函数。哈代和拉玛努金给出了p（n）的一个特别很是好的切近亲近函数a（n），切确到p（n）就是比来于a（n）的整数。

估计

看见了上面的例（2），就会想到它可否奉行。比如，有没有一个公式可以给出把n 写成10个六次方之和的编制之数量 t（n）？一样往常都信赖谜底为&34;，起码可以必定这个公式至今也未找到。可是，和加添问题一样（当二维加添问题被奉行到高维时，数学家们创作创造了惊人的数学联络），哪怕切确的谜底不必定很快会被找到，找到它的估计也黑色常滑稽的。这就要往定义一个随便筹算的函数f，使得f（n）老是近似地等于t（n）。假定这仍是太难，可以试着往找两个随便筹算的函数L和U，使得对实足n都有L（n）≤t（n）≤U（n）。假定成功了，就称L为t的下界，而称U为上界．上面举几个量为例，没有人晓得若何切确地对它们计数，可是它们都有滑稽的切近亲近，起码是有滑稽的上界和下界。

（1）在全数数学中最有名的估计问题大年夜大年夜约就是π（n）的估计。这里的π（n）就是小于或等于 n 的素数的个数。对小的 n，当然可以切确地算出 π（n）来，比如π（20）=8。可是，π（n）似乎没有一个断定的公式，当然可以想象一个硬算 π（n）的“强力”算法（就是从小到除夜，一一数地考验可否为素数，不时到n为止）可是对除夜的n，这个法度圭表类型耗时之多使得没法履行。此外，这浅近例对函数 π（n）的赋性，不克不及添加甚么新的洞察。

可是，假定把问题稍作改削，只是问，到n为止除夜体上有若干很多若干良多若干很多若干良多若干很多若干素数，就进进了所谓的分析数论这个局限，这是一个包含了良多吸惹人的下场的数学局限。不凡是由阿达玛和瓦菜·普桑在19世纪末证实的有名的素数定理指出，π（n）近似等于n/logn，这里的近似等于的意义是π（n）与n/logn之比当n 趋近无量除夜时趋于1。

这个命题还可以愈加切确化。在接近n处，素数的密度除夜约是1/logn，意思是在n邻近随机地拔取一个整数，正好是素数的概率是1/logn。这就提示，π（n）大年夜大年夜体是

的这个函数称为对数积分，记号是li（n）。

这个估计切确度若何？谁也不晓得。可是，黎曼假定等价于以下命题∶π（n）和li（n）相差最多是

这里的c是某个常数。

（2）所谓立体上的长度为 n 的本身回避游动就是具有以下性质的一串点

数 a_i，b_i 都是整数。对每个i，

没有两个不异的点（ai，bi）。

前两个前提声明这个点序列构成一个长度为n的2维的游动，第三个前提声明这个游动尽不会多于一次地访谒不合点，&34;一词就由此而来。

令长度为 n 从（0，0）最早的本身回避游动的总数为 S（n）。至今不晓得它的公式，并且也不像是存在这么一个公式。可是，关于n变除夜时它是若何添加晓得得真实良多。比如，很随便证实S（n）^(1/n)收敛于一个常数c。c的值是若干很多若干良多若干很多若干良多若干很多若干真实不晓得，可是已（借助于筹算机）晓得，它大年夜大年夜体在2.62和2.68之间。

（3）令C（t）是位于中心在原点半径为t的圆内的坐标为整数的点的个数。就是说，C（t）是契合前提a^2＋b^2≤t^2的整数对（a，b）的个数。半径为t的圆，面积为πt^2，而立体可以用坐标为整数的点为中心的单位正方形展满。所以当t很除夜时，很了然（也不难证实）C（t）近似地就是πt^2。可是，这个近似好到甚么程度就不那么了然了。

为使这个问题变得斗劲了了，令

就是说ε（t）展示用πt^2作C（t）的估计时所产生发火的偏向。1915年，哈代和朗道证了然ε（t）必起码是

而这个估计，或某个很近似的对象，给出了ε（t）的切确的数量级。可是，如今晓得的最好的上界是由Huxley在1990年给出的，它是