【温馨提示：本文除第一部分“高维空间”需求有纤维丛与初级数学的根本常识，此外的只需有起码高中的数学物理常识】

比来看攻讦，真的另有一些同伙认为不克不及用来直接研究、描摹天然界的数学是没居心义的，数学只是物理研究的对象。我们不浮泛地从事理上回嘴这个不雅不雅不雅不雅不雅不雅不美不雅不雅不雅不雅念，多么有关痛痒。我们经由过程引见三个局限的类型常识来声明，数学的初级笼统是一种特别很是壮除夜和普及的存在，它是现代数学的特点和魂魄之一。这三部非分不凡容既是我们对该方面数学常识的一种进门引见，也是对问题问题标强力回应！本文略长，感欢欣乐乐喜悦爱好地同伙要尽大年夜大年夜约对立。

在全数数学史上真正把数学物理迟滞融合到高度齐截的是叙拉古的阿基米德。为甚么这么说呢？因为他对数学命题的证实良多时辰是采取物理编制或事理的，物理事理一旦确认就相当于永真【像他创作创造的浮力定律】，由此来断定的某种数学命题似乎也理应是永真的，因为数学似乎也是在描摹某种真实的数量相干。可是在往日看来，这都不克不及算是严格的数学证实。最好的反例就是英国已故除夜数学家阿蒂亚爵士，他用物理上的“邃密筹划常数”来证实黎曼料想，这浅近例不被数学界招认。

基于“一个公允的琐细理应是逻辑自洽”的绳尺，假天命学只是物理学的对象，而屈就科学史，数学是出世于物理学的，那么数学的研究对象理应只需物理或说天然界，而数学的逻辑理应也是基于物理的逻辑，由此，对数学命题的证实理应既可以用纯数学的编制又可以数学物理兼用的编制，因为数学不过是物理的衍生物和对象，它包含于、处事于物理。数学的自洽不过是物理自洽的闪现，纯数学证实与数学物理兼用的证实理应对真谛的叙说没有分辨。

可是，但凡是一个起码真正受过工科除夜学数学经历的人都除夜白，三除夜根本：初级数学，概率论，线性代数都是以纯数学的编制证实而非独霸数学物理兼用的编制！证实是数学的魂魄与中心之一，如斯次要的部分却将物理消弭在外，这是一个值得沉思的中心。

为了后背表达了然，我们商定两个名词的含义：

初级笼统——数学定见由人类直接从理论全国笼统得来。

初级笼统——数学定见由人类从已有的数学定见笼统得来。

我们举三个例子，来看看初级笼统存在的意义。

1.高维空间

在数学上，与我们真实的三维空间最像的定见叫做“三维仿射联络空间”【所谓最像，就是请求它可以以最除夜的包涵性描摹已被确认的天然定律】，这类空间既可以平直又可以曲折勉强【“联络”是断定空间可否曲折勉强的一个多多量】，它既是点的空间也是向量的空间，这类构造的独一方针就是要让欧几里得若干很多若干可以在其上阐扬感染，非论是部分仍是集团。所以它既可以描摹全数地球的外不雅所构成的空间【此时联络分量不全为0，该空间为曲折勉强空间】，也可以描摹我们糊口的都邑地址的空间【此时联络分量全都为0，该空间为欧氏空间】。 这类笼统可以姑且看作一种初级笼统，因为它的用处就是要描摹理论全国。那么高维仿射联络空间若何邃晓呢？

之后面写过一篇关于纤维丛的文章【这里不诠释相干定见了，感欢欣乐乐喜悦爱好的可以往搜刮纤维丛的常识或不雅不雅不雅不雅鉴赏一下我写的那篇进门引见】，眼下我们就用纤维丛来构造一个理论的例子，来看看在纤维丛的框架下，人们是若何用高维空间不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅查询拜访三维空间的。

物理上我们以牛顿的尽对时空为布景。让底流形M=时分T，作为集结我们用R展示，即M=R，这里R是实数集，是时分T的数量化，用若干很多若干的言语就是“把时分‘空间化’”。为了朴实代表时分的R，我们用 展示它，用 展示四维平直时空【简称四维时空】。寄看，我们的底流形和丛流形当然都是仿射联络空间，并且它们的联络分量都为0。

让纤维型F=，即3维欧氏空间。我们掉落踪掉落踪了一个部分的微分同胚：，个中U是的某个坐标系袒护的区域。这个丛流形就是四维平直时空，投影为。因为我们朴实了是牛顿的尽对时空，所以时分和空间是分立且平直的【分立的意思是时分与空间互不影响；平直的意思是，时分与空间笼统成若干很多若干学的空间时，它们集团上是欧几里得空间】，是以微分同胚可以扩大年夜大年夜大年夜大年夜到集团上，即。对一点来讲，该映照为。这表达的是，底流形在一点t处的纤维是这点所对应的纤维型，深化点诠释就是：t时辰的纤维，就是t时辰全数三维空间的容貌。用个比如就是：你在家里用电脑看3D片子【展示器屏幕就比如全数】，当按下停歇键时，“该时辰”你看到的画面——每小我物、事物在空间都有断定的职位和外形【所谓“该时辰”指的是片子播放进度的时分，它会和画面一同停止】。

纤维丛展示图：竖线是t处的纤维，它微分同胚于点t与三维欧氏空间的笛卡尔积

这个纤维丛的丛截面是甚么呢？四维时空的元素叫处义务，由三个空间坐标和一个时分坐标来描摹。义务被算作一个四维质点，它在四维时空划出的轨迹叫世鸿沟，它但凡为一条曲线。在一段时额定的每个时辰，假定我们都能断定一个质点在空间中的坐标点，那么它在四维时空的世鸿沟就是断定，这条世鸿沟就是四维时空这个丛流形的一个丛截面。而这个丛截面恰是时分的场函数：比如，你从家走到单位这个过程，你每秒和该秒地址三维空间的坐标都是该“秒”的纤维上的一点【这里“纤维的一点”就是时空的一点，由上图，某时辰的纤维就是某时辰的全空间，而你地址的职位只是全空间的某一点，所以我们说你是在该“秒”的纤维上的一点】。全数过程你在三维空间的职位是时分t的函数，即你不时分刻都在从家到单位的这段路的一个断定的职位上。

所以，这个丛截面就是。跟着t的流逝【添加】这较着是一条世鸿沟。因为丛截面是丛流形【】的截面，是底流形【】的场函数，并且你理应能看出来，后三个分量是第一分量t的函数，所以把丛截面写成我们熟谙的场函数就是。它们本质上是一样的，只不过一个是在四维丛流形上的四维向量，一个是三维空间中的三维向量【严格地说，这个三维场函数不过是四维丛截面向三维空间作投影的下场】。当然维数不合，可是场函数是晃荡的，丛流形上的表述只是愈加了然地展示出哪些分量依托此外分量，这是纤维丛的或说我们构造的这类高维空间的益处之一。而这个场函数在某个给定的坐标系下就是物理上质点的职位矢量【若干很多若干上叫向径，起点在坐标系原点，绝顶在给定曲线的某点上】，对它求导掉落踪掉落踪就是质点的速度函数，再求导就是加快度函数。

笛卡尔坐标系中职位矢量展示图，红线展示空间曲线或说向径的每点都是时分t的函数

假定你能里解这个例子就可以创作创造，我们不是纯真地从某个高维空间看低维空间，我们是在一种构造好的数学框架下举办降维不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅查询拜访，看看在高维的视角下我们的空间是一种若何的外形、哪些性质可以奉行到高维，哪些性质不克不及等等。高维空间真实不是以直接描摹理论全国为方针，它主假定供给一种壮除夜、宏壮、能展开更除夜都学内容的布景舞台，从而为后续研究供给延续的动力和不合的不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅查询拜访角度。

纤维丛的定见较着不是初级笼统的产品，如今我们已用它掉落踪掉落踪了物理上关于描摹行动外形的一种新的若干很多若干视角【所谓新，只是对刚干戈的人来讲的。不过即便过了这么多年，在物理界，用纤维丛评论物理问题仍是算是初级的、时髦的不雅不雅不雅不雅不雅不雅不美不雅不雅不雅不雅念】。这已在展示，数学的初级笼统对理论天上往讲未必都是“虚无缥缈的逻辑游戏”。

2.群筹划

有幺有逆，能连络能封锁。这是对群公理记忆的复杂口诀。群筹划是它的标准称呼【但我们屈就常例，对其简称为群】，因为它既不是纯真的集结，也不是纯真的运算，作为一个纯真的数学对象，它是复合体——带有运算的集结，数学上我们叫这类对象为代数筹划，群是个中最复杂和最根本的。为甚么要说这对象？因为它便可以描摹远在天际的现代物理的前沿幻想，也可以描摹近在面前的你我身边的图案。

我们先说说群公理和例子。

能连络能封锁说的是要知足连络律和封锁性，这是两条公理。一个好的数学系同一样往常来讲都有这两条。你大年夜大年夜约会说，向量的同化积不知足连络律，减法也不知足连络律！嗯......若何说呢，向量阿谁是真不知足连络律的，可是阿谁是斗劲宏壮的内容，向量有多种乘积定义，每种都不一样，它们筹算后的下场不必定都是向量，是以，它们要成为某种代数琐细得出格选择和寄看，切实其实不是尽情拿过往一个向量乘法便可以有通用的性质。

至于减法，我们只能这么说，你可以在往常糊口中说它切实其实不契合连络律，可是本质上是契合的，因为在“群”看来压根就没有减法，有的只是带有负号的加法，这类加法是知足连络律的。比如5-3-2，我们都学过，假定不加括号这个表达式是有歧义的，(5-3)-2方等于5-(3-2)。当你把它们按“群”的角度写成“根本运算律例【就是加法】下元素与逆元素【逆元素就邃晓为相反数】”的表达式，即[5+(-3)]+(-2)和5+[-(3+(-2))]时，你会看出端倪：在群里，元素和其逆元素的职位是不异的，由它们在加法下构成的任何表达式都知足连络律。是以第一个表达式的中括号便可以往损掉落踪落了，即5+(-3)+(-2)；第二表达式等于5+[(-3)+2]，它的中括号也可以往损掉落踪落，即5+(-3)+2。前者介入运算的元素为5、-3、-2，后者是5、-3、2。这较着有一个元素是不一样的，如今它们都在做加法，若何大年夜大年夜约有一样的下场？

换句话说，我们经常独霸的那种减法的筹算编制，在群的加法看来，在改削连络按序此后，最初那三个介入运算的元素被减法“偷偷改削”了，这就是减法为啥不契合连络律。假定你把5-3-2先写成这类纯加法编制，即5+(-3)+(-2)，然后再审核改削连络对象后的下场，即筹算[5+(-3)]+(-2)和5+[(-3)+(-2))]，它们的下场必定是一样的，因为，当然介入运算的元素带有负号，但它们的本质是在做加法，而加法是知足连络律的。

封锁性好邃晓，就是对给定的某类数学对象的集结，在这个集结里举办某种定义好的运算，假定运算下场也是该集结的某个元素，那么就是封锁的。恰是因为寻求运算封锁，我们才要扩大年夜大年夜大年夜大年夜数系。比如我们想让整数的除法封锁，那么整数集是做不到的，扩大年夜大年夜大年夜大年夜后的有理数集可以。

同时知足连络律和封锁性的数学对象代数学上叫“半群”。这个很笼统，群公理一共四条，这两条是根本的并且正好是“一半”，所以叫半群。令nZ={nm∣m∈Z}，Z是整数集。这个是全数能被n整除的整数的集结，它在整数的乘法下就是一个半群。

有幺有逆

幺就是幺元，也叫单位元，就像加法的0，乘法的1一样。假定半群具有幺元，那么就是幺半群，定名仍是复杂粗暴。肆意非空集结X上的全数函数【即函数f:X→X的全数】在函数复合作为运算律例的气候下构下场是“函数复合幺半群”。恒等映照就是幺元，因为它与肆意函数复合掉落踪掉落踪的仍是阿谁函数。

在幺半群的根本上假定每个元素都有逆元，该幺半群称为群。你能看到，我们是先定义幺元然后屈就幺元定义逆元。对群来讲，幺元只需一个，每个元素都有独一逆元。我们上面说减法连络律时用的阿谁群叫“整数加群，“加”指的天然就是加法”，它是整数集在整数加法下构成的群。幺元就是0，它也是本身的逆元，每个非零整数的逆元就是本身的相反数。

在这四条根本上再加一条交换律，那么这就是传说中的交换群。它特别很是壮除夜、合用、利便。整数加群就是交换群。整数对加法的运算有多利便，我们都有体味。假定5+3≠3+5，那筹算将变得很顺手。

你会创作创造群的定义是“递进”的，我们从半群一步步添加前提末尾掉落踪掉落踪群，并且这个过程的每步都有具体的数学例子作为支撑，这声明群是初级笼统的产品。

看两个独霸。

我们要对正三角形举办对称独霸。所谓对称就是晃荡，就是在独霸此后图形仍是一最早的容貌，没有改削。第一个图是原始图。第二个【第一行第二个】独霸E是恒等变卦；第三个是逆时针改削120°，第四个是顺时针改削120°；第二行的前三个都沿不合的对称轴举办反射，或叫翻转。【第四个没啥用，不必管】

把这六种独霸按序写出来就是，运算就是变卦的复合【这里的变卦可以邃晓为函数】。集结A与运算【变卦的复合】构成的复合对象是个群，叫正三角形对称群。

第二个例子

假定你对物理感欢欣乐乐喜悦爱好，那么你理应听过所谓的诺特事理——每个对称性后背都有一个守恒量存在。物理学家经由过程构造某种群来展示这个对称性，由此导出一种称之为拉格朗日量的对象。它是由拉格朗日展开、哈密顿强化的分化力学的中心内容。在这里，拉格朗日量就代表对称性，我们独霸一种称之为变分法的技能可以从拉格朗日量导出某个物理局限的动力学方程。以下L展示拉格朗日量。

当L=1/2(B²/μ−εE²)−j⋅A+ρφ，我们可以掉落踪掉落踪电磁学的麦克斯韦方程组。

当L=−1/2(▼ψ∗)⋅(▼ψ)−ψ∗Vψ时【▼是梯度算子】，我们可以掉落踪掉落踪量子力学的薛定谔方程。

事前，我们掉落踪掉落踪广义绝对论的引力场方程。

这些宏壮的拉格朗日量你不必体恤可否能看懂，这些只是感性的例子，它们的存在只是声明物理学家经由过程“对称性”这个更高的、更根本的定见掉落踪掉落踪了良多次要的天然定律。

如今我们问，对三角形的对称独霸算不算是对真实全国的描摹的呢？真实全国没有三角形，有的只是画在图上的图案或由某种材料建造的类三角形物体。但凡不是作古读书、读作古书的人都除夜白，数学上的三角形是我们对这类具体三角形的初级笼统，我们对数学上三角形的研究放到理论全首都是好用的。而之前说过，群是初级笼统的下场，那么如今实例很较着，我们既可以用它来描摹对三角形的对称独霸，也可以用它来描摹以对称作为基身手理的物理定理。多么有效的初级笼统是标识表记标帜游戏吗？

3.双数域

双数很出格，作为“数”这类根本的数学定见，它不来自人们对天然界的初级笼统，换句话说，它本身就是天然数与实数的初级笼统。这类笼统源自我们对代数方程的求解，我们希看可以措置全数代数运算：加与减，乘与除，乘方与开方，是以我们掉落踪掉落踪了双数。

作为域这类代数筹划，实数也是域，它也能做到加减乘除都封锁，可是对开方它不封锁，是以双数的域更壮除夜。若何邃晓域呢？假定说交换群是集结上具有单一运算的代数筹划的完竣境界，那么域就相当于有两种运算的代数筹划的“交换群”。

这可不单仅是言语上的类比，这是数学上的定义！域上但凡的两种运算我们称为加法和乘法，当然，它们可以特别很是不合于实数的那种我们熟谙的同名运算。可是域只需一个请求：孤单看两个运算中的肆意一个，域都邑“退步”为照顾运算的交换群。是以，域是具有两种运算的完竣琐细。

传统的四则运算在近代数学看来是斗劲“奢侈”的，良多宏壮的数学对象都做不到在运算方面无缺知足所谓的“四则”，更不必说“代数运算”了！对我们但凡的、可斗劲大年夜小的数系来讲，四则运算封锁的是有理数域和实数域。可是四则运算只是代数运算的一部分，寻呵部代数运算的封锁才是人们对运算掌控的一个阶段性的绝顶，知足这个请求的就是双数域。当然，它为了这个方针也殉国了全序性质，它的元素不再可以斗劲大年夜小。

良多快活喜悦爱好数学的同伙大年夜大年夜约没有熟谙到双数域的这类壮除夜，大年夜大年夜约是因为他们对双数不太感欢欣乐乐喜悦爱好。这么说吧：

1.全数代数运算都封锁的只需双数域，而不是此外域【与双数域同构的域不算】！

2.双数域是最宏壮的域之一！此外比双数更宏壮的“数”【比如四元与八元数】都不是域，它们起码有一种代数运算不封锁。

3.双数域是最初级的域之一！其他的任何域，最多只能与它同构，而不成能有比它更丰富的代数运算内容。是以从集结的角度来讲，双数集叫代数闭包，从代数筹划的角度来讲，双数集叫代数闭域。正因为如斯，它才调使代数根本定理被证实。

双数是上天眷顾的数学对象。除夜约1年前，潘建伟院士团队已成功证实，双数在量子力学局限是被可以被真实测量的量， 仅靠实数是不克不及无缺的描摹量子力学的。这是双数真实性的物理考验考验证实！这也是给持罕有学对象论的人一次强力还击——双数并不是由人们从天然界的初级笼统中产生发火，可是却被证实是真实的。这就声明数学的初级笼统可以从一个直接的角度来辅佐人们更深切的熟谙天然界甚至是描摹天然界。假定仅凭从天然界的初级笼统，人类大年夜大年夜约永远也没法找到胜过本身创作创作创造双数的出处！

球极投影：从立体某点到北顶点的连线都与除夜球的外不雅有一个交点Z，这个除夜球就是复球面，而立体就是复立体。

总结：我们用纤维丛这个对象丛高维空间审核了三维空间中的行动外形，这注解高维是一种壮除夜的笼统对象；我们用群可以描摹三角形甚至是此外宏壮的对称图形，还可以以对称作为物理学的根本定律从而导出已知的某些根本定律，这是初级笼统在物理界的重除夜用处和功烈；双数是对数学对象论这个基调以最无力的还击，这类复杂的初级笼统如今是和实数系一样的职位，它们都是真实的。

末尾附上陈省身师长教员一篇文章的截图，他白叟家对数学与物理的相干的描摹不时是我特别很是推许的数学物理全国不美不雅不雅不雅不雅不雅不雅：现代数学与物理是各自绝对自力展开的，在某些中心会有交点，那是彼此促进的交点，每个多么的点都邑激起各自局限的巨猛进步。

陈省身师长教员的文章《微分若干很多若干与幻想物理》