本文来自英国数学家伊恩•斯图尔特所写的《现代数学的定见》一书中的第一章内容。

“现代数学”大年夜大年夜约令人产生发火多么的印象：数学已损掉落踪落往了对其意义的独霸，扔掉落踪了全数传统思惟，取而代之的则是对人大年夜大年夜约没有任何用处的想进非非的古怪创作创作创造。

这幅图象真实不无缺切确。把保守估计，如今黉舍里解释注解的“现代数学”的除夜部非分不凡容已存在了一个多世纪。在数学中，新不美不美定见从旧不美不美定见中天然地展开出来，跟着时分的推移被慢慢领受。可是在黉舍里，我们同时引进了良多新定见，而几近没有构和它们与传统数学的相干。

1 笼统性和一样往常性

现代数学的一个愈加惹人凝睇标方面是渐趋笼统。每个次要定见都包含不止一个对象，这些对象具有某种合营的性质。一种笼统的幻想推导出关于这类性质的推论，然后可将这些推论独霸于个中的任何对象。

比如，“群”这个定见可以独霸于空间中的刚性行动、若干很多若干图形的对称性、整数的加法筹划，或拓扑空间中的曲线变形。共异性质是，特定圭表类型的两个对象连络可以产生发火此外一个对象。两个接踵举办的刚性行动产生发火一个刚性行动；两个数之和是一个数；两条曲线首尾相连构成此外一条曲线。

笼统性和一样往常性是相反相成的。一样往常性的次要益处在于省力。假定在一样往常前提下不合个定理一次就可以得证，那么以不合的编制证实四次就没居心义了。

现代数学的第二个特点是它依托于集结论言语。这类言语但凡只是用标识表记标帜表达的常识罢了。数学，不凡是当它变得愈加一样往常时，对特定对象的欢欣乐乐喜悦爱好要小于对全数对象集结的欢欣乐乐喜悦爱好。5=1+4真实不出格次要，任何4n+1编制的质数都是两个平方数之和，这一点很次要。后者评论的是全数质数的连络，而不是某个特定的质数。

集结(set)仅仅是聚积(collection)罢了：我们用一个不合的词来阻拦与“聚积”一词相干的某些心思意味。集结可以以不合的编制举办组合，产生发火其他集结，就像数可以(经由过程加法、减法、乘法 )举办组合，产生发火其他数一样。关于算术运算的一样往常幻想是代数，是以我们也可以展开出一种关于集结论的代数。

与数比照，集结有一些益处，不凡是从解释注解的角度看。集结比数更具体，你不克不及把一个数拿给孩子看(“我手里拿着数3”)，但可以给他看若干很多若干个对象：3个棒棒糖，3个乒乓球。你会给他看一个关于棒棒糖或乒乓球的集结。当然数学里感欢欣乐乐喜悦爱好的集结实在不是具体的——它们经常是数的集结或函数的集结，但集结论的根本运算可以经由过程具体材料展示出来。

对数学来讲，集结论比算术更根本——当然根本的对象真实不老是最好的起点——集结论思惟对明的现代数学是不成或缺的。

是以，我在第四章和第五章构和了集结。在那此后，我会逍遥地独霸集结论的言语，不过我会尽大年夜大年夜约只独霸初等的集结论内容。过分强纠集结论本身是所长的：它是一种言语，而不是方针本身。假定你对召集论洞若不雅不雅不雅不雅不雅不雅火，而对其他数学全无所闻，那么你对别人没有甚么益处。假定你懂很除夜都学，但不懂集结论，你大年夜大年夜约会掉落踪掉落踪很除夜下场。但假定你适值懂一些集结论，你对数学言语会有更好的邃晓。

2 直觉和编制主义

愈来愈除夜的一样往常性伴跟着愈来愈严格的逻辑标准。欧几里得之所以如今遭到攻讦，是因为他没有一个公理说，经由三角形内一点的一条线必定会在某个中心与这个三角形订交。欧拉对函数的定义，即“用手逍遥绘制的曲线”，将不招认契合于数学家们希看用函数做的数学，并且非论若何，它过分恍忽不清。(甚么是“曲线”?)在这类工作上，一小我大年夜大年夜约会做得过分，用除夜量标识表记标帜逻辑庖代语词论证，并经由过程盲目独霸标准身手来考验有效性。假定走得过分(在这类气候下过犹不及)，就会破坏邃晓，而不是辅佐邃晓。

请求更除夜的严格性真实不单是一时髦起。一门学科越宏壮、越普及，采取一种攻讦的立场就越次要。一名社会学家若想邃晓除夜量考验考验数据，就必须扔掉落踪那些做得糟或结论可疑的考验考验。在数学上也是如斯。“不问可知”经常被证实是所长的。存在着没有面积的若干很多若干图形。屈就巴拿赫(Banach)和塔斯基(Tarski)的说法，可以把一个球体切成六块，然后将各个球块从头组装成两个球，每个球的大年夜小都和本来的球一样。从体积上看，这是不成能的。但这些球块并没有体积。

逻辑严格性供给了一种束厄狭隘性的感染，在不安然的气候下或在措置宏壮的问题时特别很是有效。有些定理除夜除夜都专业数学家都信赖必定为真，但除非掉落踪掉落踪证实，不然就是未被证实切确的假定，并且只能被用作假定。

在证实某种不成能的对象时也需求出格寄看逻辑。用一种编制不成能完成的义务用此外一种编制或承诺以轻松完成，是以需求特别很是细心的声明。人们已证实，一样往常的五次方程没有根式解，角不克不及用尺规三等分。这些都黑色常次要的定理，因为它们意味着某些路途是不成能的。但要想断定这些路途切实其实是不成能的，我们必须特别很是严谨地对待我们的逻辑。

不成能性证实是数学的类型特点。数学几近是独一可以断定其本身局限性的学科。它有时是如斯痴迷于不成能性证实，甚至于人们更感欢欣乐乐喜悦爱好的是证实某种工作做不了，而不是弄了然若何往做！假定自知是一种美德，那么数学家就是圣人。

可是，逻辑并不是实足。任何公式本身都没法展示某种对象。逻辑可以用来措置问题，但没法展示理应措置哪些问题。没有人能把意义编制化。要想意想到甚么对象是居心义的，你需求必定的经验，外加一种难以捉摸的质量——直觉。

我没法定义我所说的“直觉”是甚么意思。数学家(或物理学家、工程师或骚人)恰是出于直觉才多么做的。直觉授予了他们对这门学科的“感应感染”。有了直觉，他们无需给出编制上的证实就可以看出某个定理为真，并且基于本身的目力目力眼光给出有效的证实。

理论上，每小我都有必定程度的数学直觉。玩拼图游戏的孩子就有这类直觉。任何一个把全家的度假行李成功地装进汽车后备箱的人都有。培养数学家的次要方针理应是把他们的直觉转化成一种可独霸的对象。

关于严格性和直觉的吵嘴短长，人们不时辩论不休。这两个极端都没有抓住要点：数学的实力恰幸而于直觉与严格性的连络。受束厄狭隘的禀赋，有灵感的逻辑。我们晓得，有些机警人的设法历来都不太管用，有些次序递次递次递次井然的人则因为过分伙头是道而从未做出任何有价值的工作。这些都是需求阻拦的极端气候。

3 图形

进修数学时，心思比逻辑更次要。我看过一些逻辑特别很是严格的讲座，但没有一个听众能听懂。直觉理应优先，我们稍后可以用编制上的证实来支撑它。直觉上的证实可让你邃晓为甚么某个定理必定为真，而逻辑只是供给了刚毅的出处来注解它是真的。

在接上往的各章中，我试图朴实数学的直觉一面。我没有给出编制上的证实，而是试图概述其面前的思惟。在志向气候下，一本契合的教科书理应兼顾二者，但很少有教科书可以抵达这一志向。

一些数学家(大年夜大年夜约有10%)用公式思虑，他们的直觉表示在公式中。此外的人则用图形来思虑，他们的直觉是若干很多若干式的。图形所承载的信息要比文字多良多。多年来，黉舍真实不鼓舞鼓舞师长教师画画，因为“图形不足严格”。是一个重的偏向。当然，图形真实不严格，但它们对思虑是必不成少的辅佐，任何人都不该拒斥任何可以辅佐他更好地思虑的对象。

4 为甚么？

做数学有良多出处，任何邃晓这一点的人都不除夜大年夜大年夜约在读下一页之前请求证实数学的存在是公允的。数学夸姣，激起思惟，甚至有效。

我筹算构和的主题除夜都来自纯数学。纯数学的方针不是理论独霸，而是智力的知足。在这方面，纯数学近似于美术——几近没有人会请求一幅画理应有效。(与美术不合，数学一样往常招认攻讦标准。)但惹人凝睇标是，纯数学是有效的。

我举个例子。在19世纪，数学家们花了除夜量时分精力来研究闲逛方程，也就是由弦或流体中的波的物感性质所产生发火的偏微分方程。当然有物理上的劈脸，但这是一个纯数学问题，没有人能想到它对波有甚么理论用处。

1864年，麦克斯韦提出了一些方程来描摹电气候。对这些方程举办复杂的独霸就可以掉落踪掉落踪闲逛方程，这使麦克斯韦预言了电磁波的存在。1888年，赫兹在考验考验室探测到了无线电波，从而用考验考验确证了麦克斯韦的预言。1896年，马可尼完成了初度无线电传输。

这一系列义务是纯数学变得有效的类型编制。起首是纯数学家为了好玩而玩弄某个问题；然后是幻想家独霸数学，但不试图考验他的幻想；接着是考验考验科学家确证幻想，但没有展开出它的任何用处；末尾是实干家把商品送至等待已久的全国。

在原子能、矩阵幻想(用于工程学和经济学)或积分方程的生前程程中，义务的按序也是如斯。

让我们看看时分标准。从闲逛方程到马可尼：150年。从微分若干很多若干到原枪弹：100年。从凯莱第一次独霸矩阵到经济学家独霸矩阵：100年。积分方程用了30年时分才从被柯朗和希尔伯特变成一种有效的数学对象展开到在量子幻想中变得有效，而又过了良多年，量子幻想才有了理论独霸。事前没有人意想到，关于积分方程的数学会在一个世纪或更久此后被证实是不成或缺的！

这可否意味着，所罕有学，非论如今看起来多么不次要，都理应掉落踪掉落踪鼓舞鼓舞，因为它有些微的大年夜大年夜约性在2075年成为物理学家们适值需求的对象？

闲逛方程、微分若干很多若干、矩阵、积分方程，全数这些对象在第一次提出时就被认为是次要的数学。数学有一个彼此联络相干的筹划，一个部分的展开经常会影响到其他部分：这便招致某些数学内容被认为是“中心”，而次要的问题就在这个中心。甚至全新的编制也经由过程措置中心问题来证实其次要性。后来被证实有理论用处的数学除夜都来自这个中心肠区。

数学直觉成功了吗？或可否任何被认为不次要的数学都不会展开到大年夜大年夜约有效的程度？我不晓得。但可以必定的是，被数学家齐截认为琐碎或不次要的数学将不会被证实是有效的。研究“广义左拟堆”(generalized left pseudo-heaps)多么流畅而偏狭的幻想尽不会掌控将来的关头。

可是，一些特别很是斑斓和次要的数学在幻想中也被证实是无用的，因为理论全国真实不是多么运作的。某位幻想物理学家基于特别很是一样往常的数学出处推导出了宇宙半径公式，从而为本身博得了很高的诺言。这个公式令人印象深切，个中同化着若干很多若干个 e、c、h，此外另有几个π和√。作为幻想家，他从未操心用数值求出它。几年往后，才有人有充分的猎奇心将这些数值代进往，得出谜底。

10厘米。