提起数学，良多人都邑感应感染瑟瑟颤栗。若何才调学好数学？大年夜师都晓得，微积分是实足初级数学的根本功，你翻开一本教课书，解释注解微积分要用好几百页。若何才调学好微积分？不是读万卷书，不是走万里路，而是尽大年夜大年夜约“投契取巧”…

出品："SELF格致论道讲坛"群众号（ID：SELFtalks）

以下内容为中国科学院院士林群演讲实录：

聊聊各个阶段的数学

林群：各位听众，往日很有幸能跟各位评论一点有关数学的工作。

数学常识太多了，我们不成能实足掌控，所以只能在浩瀚的数学分支里面，遴选那些最次要的举办进修。

甚么是最次要的呢？比如说我们小学学的算术，那是人类几万年机警的结晶。小学念完念中学，中学是复杂的代数，也相当于算术的展开，另有一些初等的若干很多若干学，这是人类几千年的机警结晶，所以我们要学。

中学念完念除夜学，除夜学学甚么呢？除夜学次要学微积分和线性代数，这个是人类几百年试探的下场。

总而言之，人类留下的财富需求我们站在巨人的肩膀下往吃透它，消化它。所以我们必须进修，不然就要回到漆黑中从头参议，那太恐怖了。

我想援引哈佛除夜学数学系传授邱成桐的讲话。传闻他经常劝诫师长教师，“要学好微积分和线性代数，回根结底实足初级的数学都是微积分和线性代数的各类改削。”

所以，我们进修必须有重点，不成以或许展开学，太多了，反而学不好。“多则少”，你想学良多，你掉落踪掉落踪很少；反过往“少则多”，假定你学得很少，比如你就学一点小学数学，学一点中学数学，再学一点除夜学数学，除夜学数学就是指微积分和线性代数，这些进修内容对我们的生平都黑色常有助益的。

我再几回一遍，多则少！大年夜师不要甚么都学，不要学得良多，也不要做良多。如今有各类活动吸引我们，可是我感应感染对进修来讲，这些只能起到赞助的感染。

最次要的仍是在教室长进修，把正课学好。把小学的数学，最复杂的算术学好，把中学数学最复杂的代数和若干很多若干学好，把除夜学的数学学好，就是把微积分和线性代数学好，这是最次要的。

然后，在接上往的工作中再展开，延续进修，因为学无尽顶。这是第一点定见，供各位家长和师长教师参考。

若何进修数学

若何进修数学呢？数学太难了，我是最怕数学的，我们一家人都怕数学，我熟谙良多同伙，包含各类各式工作场合，都最怕数学。

所以数学若何学，是我很忧?的问题。我是经常在心里面思虑这个问题标。

刚才我说了，邱成桐师长教员认为，微积分是实足初级数学的根本功。可是，微积分若何学呢？你翻开一本教课书，解释注解微积分要用好几百页。

我从50年前就最早学微积分了，可是看一些教课书，我看得蒙头转向，讲的内容太多了。

良多教科书很烦琐，大年夜师要自创。所以我们要把微积分学好，不是读万卷书，不是走万里路，而是尽大年夜大年夜约“投契取巧”。

我认为学微积分跟学此外数学一样，“假传万卷书，真传一案例”，把一个案例学好，你就把全数微积分的精力掌控了。

进修微积分用甚么案例呢？理操作我们往常糊口里经罕有到、经经常独霸到的案例。

比如我们经常坐高铁，高铁车厢里头有一个标识表记标帜展示往后的时速是若干很多若干良多若干很多若干良多若干很多若干，也就是一小时走多远。速度就是路程除以时分。

我们经由天津站的时辰，就展示时速若干很多若干良多若干很多若干良多若干很多若干，经由除夜连站时也会展示时速若干很多若干良多若干很多若干良多若干很多若干。时速是甚么意思呢？就是指某一时辰的速度，某一时辰的速度是甚么意思？

你看，阿谁时辰不动，时分等于零，没有时刻，火车不克不及运转，所谓事前的速度，你细心想想，是一个0除以0的问题，没有时刻，就没有路程。那么路程比时分，速度就是0比0。0比0的问题是很严重的，使得牛顿多么的除夜物理学家都感应感染伤思惟。

可是牛顿很机警，他想出了编制筹算瞬时速度。他想象，火车在很短的时分里，走过很短的距离，因为时分很短，火车没有时刻加快，所以它的瞬时速度理应是可以这么筹算的，把它变卦成一个在很短的时额定里走过的很短路程。

微积分辨明书

大年夜师好好想想看，时分很短，火车没有时刻加快，所以，速度只需很小的改削，用这浅近例来筹算，我这里写的，巷子程，由x点跑到x+h点，很短的时额定，瞬时速度改削很小，因为没有时刻改削，时分太短了，瞬时速度很小。

瞬时速度+小改削，再乘以短时分，巷子程是这么算出来的，巷子程是瞬时速度+小改削，然后再乘以短时分。把它离开，小学的算术学过了，（A+B）×C=A×C+B×C，瞬时速度×短时分+小改削×短时分，时分膨胀往后，小改削就很小，根本上被杀绝损掉落踪落。

全路程就是巷子程加起来，巷子程加起来是甚么意思呢？就是瞬时速度×短时分，加起来，再加上小改削×短时分，短时分加起就是总时分。

比如说北京到上海是一小时，一小时就是总时分。总时分是结实的，比如说一小时，总时分乘以小改削仍是很小，因为时分是结实的，时分晃荡，就是一小时，乘以小改削，仍是小改削。

总而言之，全路程是瞬时速度乘以短时分相加，再加上小改削乘以总时分，小改削乘总时分仍是小改削，因为总时分是结实的。

比如说一小时，小改削乘一小时，仍是小改削。但凡是多么，假定瞬时速度不竭走，短时分加起来，堆集得良多，就是积分了。这个是等于把小学、中学的数学，到除夜学换了一个名词。

小学的数学跟除夜学的数学、初等数学和初级数学，本质的分辨不除夜，可是要换一个称呼，把本来的相加变成积分了。

多么的话，就变成一个速度×时分的积分，然后加上小改削×总时分。假按时分不竭膨胀，小改削就没有了，全数就是速度×时分的积分，也就是路程是速度×时分的积分。多么子就是除夜学微积分的制高点了，有了这个制高点就好办了。

以火车的瞬时速度为案例讲这么多，是希看把全数微积分展开在你面前，面对案例要细心分化，细心思虑，看以下附录。

从小同伙到岁数除夜一点的人，都理应把瞬时速度作为我们的思虑题，在某一时辰，火车的速度幻想下场是若干很多若干良多若干很多若干良多若干很多若干？某一时辰，时分没有改削，速度等于路程除以时分，某一时辰，假按时分没有改削，路程仍是阿谁路程，所以速度理应是0比0。

可是牛顿很机警，把这个问题变通了，末尾变成瞬时速度+小改削，再乘以短时分，后背的演算是斗劲复杂的，多么微积分就掌控了。

我朴实一下，“假传万卷书，真传一案例”，所以我们要找真传，不要读良多书。良多人认为理应“走万里路，读万卷书”。

我的经验不是多么的，因为我是很笨的人，我读书读得很慢，不成能读万卷书。我读一本书就满头除夜汗，读几年都读不懂，末尾才创作创造受愚了，本来真传只需一个案例。往日要讲的就是从哲学的角度来讲进修编制，你们要记住：假传万卷书，真传一案例。

我想再说一说，我们如今教科书有很除夜的问题。承诺我攻讦一点，我们的教科书把复杂的对象讲得很宏壮。可以经由过程一个案例声了了的，不讲案例，却讲若何证实，若何推导定理，这就是谎话。

理论上，证实是靠创作创造的，定理是靠事理的，所以我们起首理应给师长教师讲事理，讲创作创造，而不是讲定理，讲证实。

当我们把事理弄了然了，除夜都气候下证实主动就弄了然了。比如说刚才讲的微积分，把火车瞬时速度的案例弄了然，证实两行、三行，最多四行就出来了。

如今书上不讲事理，如今的教科书证实刚才多么的一个定理就是一本书。我们在进修时很忌讳“不讲创作创造，只讲证实；不讲事理，只讲定理”。

所以我希看数学文明产生发火改削，变成讲事理的学问，变成讲创作创造的科学。

真实据引见说，牛顿是三一学院里的深化师长教师，事前伦敦展示瘟疫，他逃到乡间，在乡间思虑，苹果打到头上创作创造了万有引力定律。

非论故事可否真实，可是说了然一个问题，只需在乡间，不在黉舍里面，不过劳碌的糊口，思虑才调做出创作创作创造。

如今我们的活动太多了，没时分思虑。你看小师长教师介入若干很多若干良多若干很多若干良多若干很多若干活动、比赛，中师长教师的活动更多。

家长要改削本身的做法，让孩子有余暇的时分，在树下疏信步，在湖里游拍浮，让他们往思虑，往创作创造，不要成天考验。

考验是一个机械，我也干戈了浅近的考验好手，我特别很是敬佩他们，他们做题比我快良多，一眨眼就做出来了，可是他们不晓得在做甚么题。

所以家长们最好不要希看孩子一个个都是考验好手，理应让孩子过往常的糊口。天天都可以考验，你从小学考起，中学也考，除夜学也考，我进除夜学就考了一百题，一天考一百题。

所以考验很往常，没甚么了不得，让他往考，考得好，考不好都没紧要。牛顿此后最巨除夜的科学家是爱因斯坦，爱因斯坦除夜学卒业的时辰下场不算好，在专利局做***科员。

就是多么一个***科员，一个在除夜学学的很差的深化师长教师，下场做出很除夜下场。因为他会思虑，他支撑不思虑就举办推理，支撑不思虑就举办证实，这让他成为继牛顿此后最巨除夜的科学家。

我们希看各位同窗都理应把本身看作一个深化的人，看作是***科员，看作是很差的师长教师，可是我们有切确的进修编制，我们晓得案例进修，我们一个案例顶万卷书，多么的话屈就理论上是很高的。

所以我往日就讲这些，希看一个案例顶万卷书，希看大年夜师学得少，学得好，切切不要图多，嚼不烂，下场甚么都懂，又甚么都不懂。

一个很驰名的故事，一个牧师在布道，牧师越讲越冲动，可是不美不雅不雅不雅不雅不雅不雅众一片睡着了，我希看你们没有睡着，那就是成功了，感激冲动冲动大年夜师！

掌管人：特别很是感激冲动冲动冲动林教员超卓的陈述，如雷贯耳，如今和现场不美不雅不雅不雅不雅不雅不雅众同伙们举办互动。

林群：我再补偿一句，为了不良多人***击击我，我起首说，我本身就不晓得数学，我本身学得很差。说其谎话，我们这些人都没有下场，哪些人有下场呢？

比如屠呦呦的下场大年夜大年夜约良多人都想不到，我信赖屠呦呦的智商真实不必定很高。我不熟谙她，我感应感染她多是很往常的人。可是她生平研究了一件工作，少则多，她只做一件事，研究中药——青蒿素。

就这一件工作救了非洲若干很多若干良多若干很多若干良多若干很多若干万人，这就是她的供献。谁巨除夜？仍是屠呦呦巨除夜。BBC选出100年来最巨除夜的三位科学家，就是爱因斯坦、图灵和屠呦呦”。

与不美不雅不雅不雅不雅不雅不雅众互动

掌管人：接上往进进一个互动的环节，在场的选两个问题，一个小同伙，一个家长，谁想发问，举手。

不美不雅不雅不雅不雅不雅不雅众1：如今这个社会，我认为是斗劲正视考分的，良多除夜学，他们都是以考分为准。在工作方面，良多公司也是要看你是从哪个除夜学卒业。当然我特别很是否决您的不雅不雅不雅不雅不雅不雅不美不雅不雅不雅不雅念，数学切实其实理应往多思虑，不睬应那样机械。考验那些对象没用，可是对如今这个社会，仍是以考分为主，您对此持甚么不雅不雅不雅不雅不雅不雅不美不雅不雅不雅不雅念？

林群：比来大年夜师都经常讲到考验的问题，我感应感染这个不次要。刚才说的奥赛冠军，当然很短长，比我不晓得短长若干很多若干良多若干很多若干良多若干很多若干，我做一年，他大年夜大年夜约一会儿就做完了。

要晓得，他是一个解题好手，可是他没有提出问题标身手，有甚么用处呢？你给他这个题做，他给你做，可是他没有设法，所以不要亲爱这些人。

我本身认为，屠呦呦是我们的圭表类型，玩青蒿素玩了生平，玩出了诺贝尔奖。

你说她是禀赋吗？她是神童吗？所以我们家长请求太低了，就请求孩子考得好，可以找到好职业，这算甚么呢？考得好，好职业算甚么，真的有供献的人，就不克不及仅仅靠考验。

考验很往常，考验没甚么的，我陈述你，我进除夜学，一天考一百道题，考好又若何样？如今谁问你考多好？

我们很值得清查屠呦呦这小我的经验，幻想下场她小学、中学、除夜学学得若何样，我信赖对我们会带来鼓舞鼓舞。

深化人都能学好数学，深化人都有供献，只需有屠呦呦那样的精力。能做出供献的不是那些“丽人丽人”，我感应感染那些都靠不住。

掌管人：感激冲动冲动，我邃晓林教员说数学这个对象，深化人只需戮力用功就可以学好，考100分算不了甚么，要有更弘远的方针。

林群：考100分不算甚么，请求不克不及太低。比如说我进厦门除夜学的时辰，一天做100题，你就考了100分又算甚么？

我厥掉落踪队中科院，到如今没做甚么好工作，我敢这么说本身，我都看不上本身，因为我没有屠呦呦那样的精力。

只是我岁数除夜晓得已晚了，屠呦呦年青时就找到了切确的标的方针。她看中了中草药，末尾成功了。

所以家长对你们的孩子，请求要更高，必定不克不及说仅仅要考得好，找到好职业就好了，好职业算甚么？

我们中国另有一个全国名人，研究三体问题标数学家，在全国局限内都很有影响力，大年夜师都认为他黑色常了不得的圭表类型，可是他是一个来自山西的很深化的师长教师。他的糊口也很深化，职业也一样往常，可是他做得很好。

我们在很好的中心，我1956年就在中科院，多好的中心，可是我做出甚么下场来，我看到他，感应感染差太远了。像我多么的人，在科学上根柢不值一提，为甚么呢？家长们，必定要请求高，不克不及只需求孩子考得好，找到好职业。

掌管人：理应再狠一点，不克不及仅仅请求他们100分。

林群：对，我再讲一个。我们都很体恤人除夜，人除夜开完会，选出良多部长。你看看部长的经验，除夜部分是从基层出来的，这才是真实的人才。

部长是国度栋梁，除夜部分人都是小学念得很深化，在村庄一步步展开的，然后从科员、科长慢慢锤炼出来，这才是中国真实的人才。

掌管人：给大年夜师诠释一下，林院士是30后，1935年出世的，跟我爷爷岁数差不多。

林群：我比他爷爷除夜良多了，我84岁。

不美不雅不雅不雅不雅不雅不雅众2：林院士好，掌管人好！大年夜师的掌声已说了然对您的不雅不雅不雅不雅不雅不雅不美不雅不雅不雅不雅念的招认，可是在数学上，否定一件工作比必定一件工作随便良多。

我的问题是，如今的评价轨制，或说分数的评价轨制是不好的。我们要带领孩子们往思虑，养成思虑的习惯或思惟编制，可是我们幻想下场理应若何做呢？

掌管人：您感应感染有没有甚么更好的编制，比如今的轨制更契合我们如今的外形的？

林群：对这个问题，我是没有经验的，可是我感应感染，家长要对孩子管得严，仍是理应朴实下场的。

比如说我晓得国外一些师长教师，他们若何经历孩子呢？他们感应感染孩子快活喜悦爱好甚么，就理应鼓舞鼓舞他们做甚么。下场这些孩子都往念植物学，因为孩子爱狗，爱猫。

假定孩子快活喜悦爱好猫，我们家长就让他念猫学，快活喜悦爱好狗就念狗学，快活喜悦爱好植物，就往念植物学，都往做植物学，行吗？此熟行业谁做呢？

我们中国的家长，让孩子把小学、中学、除夜学念好，这是根本功，把这个念好，做甚么都可以。

不克不及隔山不雅不雅不雅不雅不雅不雅虎斗，让孩子主动抛却他的经历。小孩不懂进修的次要性，你不逼他，他就没法单方面善长，所以仍是要“逼”小孩读书。

只是说，要对小孩请求高一点，要让他思虑，不克不及知足于他考得好，得一点小奖，不克不及知足于这些虫篆之技。

可是这些很难做到，我们每小我都希看孩子受最好的经历，孩子受最好的经历，不必定能培养出好科学家。

传闻畴昔有一个高考状元，下场往当和尚，当和尚不是不好，可是声明他的展开无穷。你学再好有甚么用处，末尾你没有对社会有供献。

而像屠呦呦多么的人，对社会供献特别很是除夜，我信赖她学得不必定最好，可是她研究青蒿素就可以成功。

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