高小山说

11月5日，一篇长达111页的数学论文在网上撒播，作者是美籍华裔数学家张益唐传授。文章问题问题为《聚会平均数估计和朗道-西格尔零点》。在这篇论文里，张益唐传授称，本身已措置朗道-西格尔零点料想。

此消息一出，可谓是在数学界颤栗不已，网友们纷纷转发，驰驱相告。但专业的数学问题让良多人只能当吃瓜群众，不除夜白幻想下场是若何回事。

此次硅谷课程上，高山书院聘请到了张益唐传授，亲自为大年夜师解读他的研究。

以下内容拾掇自张益唐传授的课程分享，经教员专业查核后悍然宣布，感激冲动冲动冲动北京除夜学姜传洋博士对本文的查核带领。

张益唐传授在高山书院硅谷站教室上

之前在纽约北除夜校友会上宣布我措置了朗道-西格尔零点料想问题，这真实不是胡扯，也不是我说错了甚么，本质上我切实其实就是措置了数论中的这个艰苦。但理论上并没有网上传的这么颤栗，在这里我也要澄清一下。

要措置朗道-西格尔零点料想问题，一样往常认为有两种大年夜大年夜约：一个是证实这个零点存在，一个是证实它不存在。

我所证实的是朗道-西格尔零点是不存在。

假定存在的话，那会黑色常了不得的工作，因为多么一来，就意味着黎曼假定是错的，良多人必定是不会信赖的。

往日给大年夜师分享下我是若何证实这个过程的。我会尽大年夜大年夜约用深化的言语来描摹。

数学里的“测禁尽事理”

我们晓得物理里有“测禁尽事理”，真实数学里也有，或切确的是说，是有下场但不克不及有效断定。就拿2013年我证实的孪生素数料想举例来讲吧。

素数也叫质数，是只能被1和本身整除的数。孪生素数料想但凡被称为“素数距离”，比如像（3，5）、（11，13）多么差为2的素数对。

孪生素数料想是1900年希尔伯特在国际数学家除夜会上提出来的一个料想，他认为，跟着数字变除夜，可以不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅查询拜访到的孪生素数会愈来愈少。那么，到末尾，会不会再也找不到新的孪生素数呢？

孪生素数料想与黎曼料想、哥德***料想一样，同属久负盛名的希尔伯特第八问题。被数学界认为“多是永远没法措置的问题之一”。

如今做到的关于措置孪生素数的谜底里，最好的是说两个素数之间的差小于和等于246的素数对有没有穷多个。

我们晓得素数的个数是无量的，而跟着素数的增除夜，下一个素数与上一个素数之间的差理应愈来愈除夜。

假定把孪生素数举办奉行，往损掉落踪落（2，3）这个差值是1的这一对素数，其他的素数对差值都是2或2的倍数，即都是偶数。经由筹算末尾创作创造，两个素数之间差值分袂是2、4、6、8、10.....这类大年夜大年夜约性只需123种，也就是差值为246及以下的素数是有没有穷多对的。

若何邃晓呢？

假定我们把无量多个球装到123个箱子里，那么到末尾起码有一个箱子里会装无量多个球，这一点大年夜师可以邃晓的吧？

用反证法来讲，假定123个箱子每个里面装的都是无穷个球，那全数箱子加起来仍是无穷个球，那就不成能创建，所乃起码有一个箱子里有没有穷多个球。

如今，我们把一对素数对看作是一个球。比如把差值是2的素数对装进第一个箱子，差值是4的素数对装进第二个箱子，差值是6的素数对装进第三个箱子......

依此类推，那起码有一个箱子里有没有穷多对素数，可是幻想下场是哪个箱子，我们是算不出来的，是没法断定的，所以这就是数学里的“测禁尽事理”。数论里良多多么的特点，都是“算禁尽”的。

数学变成了神学，

甚至是妖术？

说到朗道-西格尔零点料想，起首给大年夜师讲讲甚么是“零点”。

给你一个函数，比如y=x2-1，当x为何值时，y=0，那就可以找到这个函数的零点。对这个函数，很复杂，x=±1。也就是说，在x=±1时，这个函数有零点。

那假定是y=x2+1呢？在实数局限里是算不出来的，假定把虚数也思虑出往，在双数的局限下解答的话，那就可以措置了，x=±i。

也就是说，在双数局限内，一样往常的函数都是有零点的。

那么，黎曼假定讲的是甚么呢？它认为，在双数局限内，有的函数在必定的局限内是没有零点的。

黎曼是一个特别很是巨除夜的数学家，丘成桐传授曾说过一个不雅不雅不雅不雅不雅不雅不美不雅不雅不雅不雅念，他认为黎曼是人类汗青上最巨除夜的数学家，没有之一。

为甚么这么说呢，是因为黎曼的原创性思惟出格多。非论是在分化、若干很多若干、数论等局限，他都做出了原创性的供献。

1859年，他宣布了一篇论文，就这一篇论文，出世了一个百年谜题——黎曼料想，但他在论文里不经意地说了一句，“这个证实过程不次要，从略。”这一句“不次要”让儿女罕有的数学家们前赴后继地往寻觅这个证实过程。

2000年，美国克雷数学研究地址巴黎召开数学会议会议，投票评选出数学界的七除夜“千禧问题”之一，黎曼料想位居榜首。

那么，黎曼料想与朗道-西格尔零点料想之间又有甚么相干呢？

因为后来德国数学家狄利克雷把黎曼料想举办了奉行，引进了一除夜堆函数，从而产生发火了广义黎曼料想，而广义黎曼料想正好又是朗道-西格尔零点料想的充分前提。

理论上在我之前，西格尔大年夜大年夜体在1930年代就已证了然，在不克不及有效筹算的局限里，朗道-西格尔零点不存在。可是真实不是证了然就完了，这里面还干连良多的参数设置，你看他是多么证实的：

在必定局限下，假定前提是朗道-西格尔零点只存在一个的话，因为函数有良多个，有一个已有零点了，那么其他的函数就都没有零点。

那假定我们再画出一个更除夜的局限，那在这个除夜的局限，全数的函数也都没有零点，再往外推，在无量除夜的局限内全数的函数也都没有零点。

所以在这个意义上，我们说朗道-西格尔零点不存在。

可是幻想下场是在甚么样的局限内？局限多除夜？这又取决于你的假定，而假定又不是证实，所以这就没法断定。

良多人大年夜大年夜约会***，说这数学若何变成了神学甚至是妖术？但理论上就是多么的，数学里有太多“测禁尽”的工作。

大年夜师大年夜大年夜约创作创造了非论是物理仍是数论局限，良多次要的幻想或定义，都是用否定语气来论说的，比如我此次创作创造的结论就是，朗道-西格尔零点不存在。

比如物理学里，广义绝对论复杂来讲就是，没有参照系的气候下，要测量尽对速度是不成能的；广义绝对论也是一样，分辨惯性质量和引力质量或说分辨惯性场和引力场是不成能的。

在数论局限，多么的描摹更多。

把工作做到极致

昨天夜话上也跟大年夜师聊过，真实我处事是希看尽大年夜大年夜约把工作做到极致，多么才有大年夜大年夜约会创作创造一些新的对象。

张益唐传授在高山书院硅谷站夜话现场

时分相干，我就复杂讲讲我的工作是若何做的。

此刻做孪生素数的时辰，我的工作复杂说来就是在数论里举办一系列的推导，推导到末尾需求构造一个无穷的实数序列，往证实这个序列里必定包含一个小于零的数。后来做朗道-西格尔零点问题时，末尾也回结到这里了。

这个问题我断断续续研究了20多年，我创作创造了良多组序列，但都不是小于0，黑色常接近于0的，所以不竭证实不出来。

而末尾我是若何证实的呢？我把两组都特别很是接近0 的序列拿来再组合一个新的序列，不必定是负的，也不必定是正的，但末尾弄出来的柯西不等式能推导出冲突，问题就措置了。

后来我就想，数学甚至可以说是科学里，良多时辰你大年夜大年夜约感应感染希看苍茫，但即就是做不出来下场，我们也可以尽大年夜大年夜约往把它做到极致，说不定希看会展示了。

就像我不竭没法证实零点可否存在的问题，但我把序列做到无量接近于0，然后再引进一个新的不等式，末尾仍是能把问题措置。

之前我看到过一个片子，陈凯歌导演的《我和我的故国》，里面讲到一个喷喷喷喷喷鼻港的钟表匠，在喷喷喷喷喷鼻港++的时辰，为了把时分对准，没日没夜修表，剖断不出任何舛错踪，末尾做到了一秒不差。这个故事多是虚构的，但他的匠人精力给我印象特别很是深切。

在如今这个技能行进神速的群集时代，大年夜大年夜约我就是把本身算作是数学上的一个工匠，成年累月地往做，不做到极致不罢休。我认为这是很次要，贯穿连接着纯真的匠人精力，就多么不时做下往。可以对立这一点，我感应感染就是成功的。

问答环节

张益唐传授（前排左二）与高山师生们在硅谷站

01

文厨（高山书院兴办人＆校长）

有人说，从孪生素数料想到朗道-西格尔零点料想，您完成了两次不成能，你本身若何看？

张益唐：

我这小我的性格，就是快活喜悦爱好做有挑衅性的事。快活喜悦爱好做别人认为不成能的事。

说到“不成能”这个事，理论上是有这么个渊源的。2019年，《人物》杂志采访我，也采访了我身边的一些人，从他们那儿何处往体味我。个中有我的一个同事，是个美国人，记者问他，“张益唐能证坦荡宽大年夜大年夜大年夜大年夜广大年夜奔放道-西格尔零点料想吗？”阿谁同事答复说，“他假定能做出来，那就相当于一小我被闪电击中2次。”

我们都晓得，一小我被闪电击中一次的概率都很小，更别说是2次了。所以他是认为要做这个工作几近是不成能的。

02

Tom Zhang（硅新社草创人，高山书院2018级同窗）

我小时辰看陈景润传授做数学研究的故事，说他演算纸用了好几麻袋。不晓得张传授您是不是是也用了良多若干很多若干良多若干很多若干良多若干很多若干演算纸？

张益唐：

我没有效这么多演算纸。我用的是电脑上一个很复杂的软件，你们在坐的良多人理应也都用过，就是加拿除夜的一款软件MAPLE，用来算算积分，根本就够用了。

我小我对陈景润传授黑色常敬佩的，在上世纪60年代那种气候下，别说电脑了，连个筹算器都没有，全数的数据都要用算盘或靠手算，这需求特别很是除夜的毅力，很少人能有多么的毅力，我从小就特别很是服气他，到如今也不时敬佩他。

03

周天羽（宽潭成本合伙人，高山书院2022级同窗）

张传授，哥德***料想已良久了都没有人能证实，您感应感染它大年夜大年夜约会从甚么层面被措置？

张益唐：

从陈景润证实的哥德***料想“1+2”此后，我感应感染仍是需求等待新的原创的idea，这方面我做过一些考验考验，但如今还没有做出来。

也有很除夜都学家在不竭地研究中，甚么问题都是可以慢慢被做出来的，没有需求太悲不美不雅不雅不雅不雅不雅不雅。

04

李晓（GurryShark Capital合伙人，高山书院2022级同窗）

张传授，有体味到您不做数学研究的时辰，也对诗歌等艺术作品感欢欣乐乐喜悦爱好，不晓得张受教快活喜悦爱好甚么的诗歌作品呢？

张益唐：

诗歌的话，我主假定不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅鉴赏中国古典诗歌，最不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅鉴赏的是杜甫的作品。

05

谢晓泽（斯坦福除夜师长教师平传授）

刚才听您说“一小我被闪电击中2次”，感应感染很有诗意。不晓得张传授在做研究中，可否有那种俄然迸发的灵感的外形？

张益唐：

灵感的俄然展示，切实其实也有点像被闪电击中的感应感染。

我记得很了然的是，2012年7月3日，我在科罗拉多州的一个同伙家的后院里，想往看梅花鹿，可是鹿不时没有来。

阿谁时辰我在心里想孪生素数的工作已想了良久了，就在鹿不时没有的时辰，我俄然就把本来分隔思虑的两件事连在一同想了，下场就那么一瞬时，如今回想起来就有点像是被雷击中的瞬时，我就想通了阿谁孪生素数的问题。

06

余晓帆（张首晟基金会主席）

孪生素数料想到朗道-西格尔零点料想，这两个问题之间有甚么联络吗？

张益唐：

孪生素数料想到朗道-西格尔零点料想这两个问题之间是有必定的联络的，他们都可以回结到无穷的序列问题上，都是往证实这两个无穷的序列不都是正的，也存在负值。

数论里良多问题是近似的，良多措置问题标设法也是相通的。

07

郭毅可（英国皇家工程院院士，欧洲科学院院士，喷喷喷喷喷鼻港浸会除夜学副校长，喷喷喷喷喷鼻港科技除夜学首席副校长）

全国经济论坛有个料想说，到了2060年，人工智能理应能做所罕有学家能做的事，你感应感染这个大年夜大年夜约吗？

张益唐：

我在除夜学教数学，非论教甚么，我的那些师长教师们都邑感应感染很随便，似乎感应感染就是天上损掉落踪落上往的。所以我承诺非论是到2060年仍是哪一年，人工智能是有大年夜大年夜约做数学家们能做的工作的，可是有一点，数论必定是末尾被人工智能兼并的，因为数论仍是有难度的，这是我的感应感染。

数论是很出格的，在数论里，像高斯多么的禀赋必须是要存在的，假定没有他们，数论很难展开起来。

郭毅可:

那人工智能对措置数论问题有所辅佐吗？

张益唐：

仍是有大年夜大年夜约有辅佐的。比如希尔伯特第20个问题是前几年被措置的，就是电脑赞助的，一部电脑还不足，仍是好几部联动的。但这还不克不及算是人工智能。

我总认为将来人工智能对数论问题必定是有辅佐的，数论问题不是一个复杂的筹算问题，它比下围棋甚么的都要艰苦良多。

夏志宏（美国东南除夜师长教师平传授，高山书院校董）：

作为一个数学家，大年夜师大年夜大年夜约感应感染我理应很懂张益唐传授的研究，但黑色常遗憾地陈述大年夜师，真实真实不太懂。素数或说张传授研究的局限黑色常艰深特别很是艰苦的。

从数学的集团展开而言，分析数论是数论中以分化编建造为研究对象的一个分支，是中国斗劲传统的刚烈。在这之前，因为良多年没有甚么盼看，良多人认为分析数论已作古了，张益唐传授的研究相当于更生了它，让良多研究分析数论的数学家们看到了希看。

张益唐传授的研究，是将这么多年来分析数论的研究做到了极致。是甚么意思呢？就是一个设法出来了，把它做到人类智力上几近没法奴隶的深度上往。

08

++（柔灵科技草创人兼CEO，高山书院2022级同窗）

往常糊口中，若何设编制让本身的灵感瞬时更多地产生发火？

张益唐：

在我看来，一个根本的前提就是你需求经久的堆集，成六合想这个对象，成年累月地想，多么才有大年夜大年夜约在某一个瞬时迸发。

我昔时研究孪生素数，就是从两个不合的角度往思虑了良久，后来创作创造把这两个角度的工作放到一同想，改了一些参数，俄然灵感就来了，问题就措置了。

昨天夜话上我跟大年夜师也聊过，真实非论是数学家仍是谁，非论做甚么，我们都是有局限性的，我老是多么随时提示本身，我不成能一会儿就做出多么除夜的供献，只能在既有的根本上，创作创作创造更多的机会，一点点往试探和考验考验。

良多年前马克思说过多么一句话，“人们本身创作创作创造本身的汗青，可是他们真实不是随心所欲地创作创作创造，真实不是在他们本身选定的前提下创作创作创造，而是在直接碰着的、既定的、从畴昔秉承上往的前提下创作创作创造。”

09

张倩（天际成本草创人，高山书院2017级同窗）

若何培养孩子的数学素养？

张益唐：

找一些滑稽的数学问题数字问题多往给他们讲，用滑稽的问题陶冶他们。

比如我给我孙女讲过一个：你要断定一个数能不克不及被3整除，就把这个数的个位十位百位甚么的都加起来，假定这个加和能被3整除，那么原始这个数也能被3整除。一样的，3换成9也可以，但换成7就不成。

像多么的例子有良多，小孩也能玩。不须要证实，让孩子们本身往想为甚么。我感应感染这是一种很滑稽的带领孩子们对数学感欢欣乐乐喜悦爱好的编制。不是要硬性强逼他们往进修。

10

盘红兰（立德将来基金会副理事长，高山书院2020级同窗）

良多人都认为数学研究很机械，请示你是若何从小对立上往的？实力来自何方？

张益唐：

能对立上往是因为我历来没有认为数学是机械的。

我信赖在坐的良多同伙，大年夜大年夜约你的专业不是数学，但你仍是会对一些数学问题感欢欣乐乐喜悦爱好，比如数论里的孪生素数料想、哥德***料想甚么的。我对这些个问题很随便懂，上中学甚至是上小学的时辰就懂，可是要想往证实它，就不随便了。

这里面有良多已知和未知的对象，而这个已知和未知之间的差距，就很居心思。所以我信赖对良多同伙来讲，数学不见得老是那么机械。

11

袁征（Zoom草创人＆CEO）

从您的角度来看，这数学美在甚么中心？

张益唐：

从我本身的角度来讲，数学的美在于它是有挑衅性的，它挑衅你心思的极限，不单仅是小我的智力，而是整小我类智力的极限。

严格讲理应是从古希腊最早，数学就最早存在了。事前间研究的是诸如“长方形的对角线长度是不是是有理数”，“用尺规能不克不及画出与给定圆面积相当的正方形”之类的问题，2000年祖先们就提出多么的问题，本身就是很震动的。

而“化圆为方”多么的问题，直到19世纪才被措置，结论是不成能，做不到。一个小小的数学问题，难倒了数学家们千年，这本身就有美的对象在里头。

另有一个例子，就黑色欧若干很多若干。中学我们都学过欧几里得若干很多若干，个中第五公式的原意是，过直线外一点，有且只需一条直线与已知直线平行。这么复杂一个问题，但连欧几里得也没声了了，过了2000年人们才晓得若何往措置这个问题。

所以你真的是不克不及不服气2000年前的那些前驱们，每次想到这里，我都邑被震动到，从这里面，我就可以体味到数学的美。

袁征：

数学里良多公式特别很是美，这些公式幻想下场谁成立的，是上帝吗？仍是这些公式自可是然是存在的？

张益唐：

是人创作创作创造的，大年夜大年夜约这些人是斗劲接近上帝的。薛定谔方程是物理的，我们就先不说了。另有一个欧拉公式：

这个特别很是家心思，e是天然对数的底，i是虚数单位，一个复杂的公式把几个根本的量都连在一同了，并且在数学上另有出格的独霸，多么夸姣。

袁征：

那这些公式是客不美不雅不雅不雅不雅不雅不雅存在的吗？或说是上帝本身就成立好的，只是等着人往试探，有的能被人创作创造，有的还没有创作创造？

张益唐：

这里我想援引19世纪德国数学家利奥波德·克罗内克的一句名言：“上帝创作创作创造了整数，其他都是天然的。”

我认为这些规律理应本身就是天然界存在的，不克不及说是人们创作创作创造了或创作创造了它，只能说是创作创造，即客不美不雅不雅不雅不雅不雅不雅存在的规律被巨除夜的数学家们创作创造了。

12

李可佳（高山科学促进中心秘书长；极课除夜数据草创人，高山书院2020级同窗）

在数学局限，人与人的差距真的就那么除夜吗？我之前上学的时辰，感应感染本身数学还挺好的，但厥掉落踪队了少年班，创作创造良多人真的是不看书，但却特别很是短长。我很猎奇，拉马努金气候是真实存在的吗？是甚么构成的？

张益唐：

拉马努金这个理应算是一个特例，32年的经久生命，据统计留下3900个公式，切实其实是一个数学禀赋的存在。拉马努金料想，按他本身的话来讲，是他在梦里梦见了一名女神，女神给他的启发。

他留下的那么多公式，真实真实不是全数的都是切确的，也有良多公式他本身也没有证实出来，而是过了良多年才被证实出来是切确的。如今另有专门的机构和人员研究他留上往的那些笔记。他的存在切实其实是一个稀少的特例。

夏志宏：

我感应感染每小我对数学的邃晓和感应感染都是不一样的。比如有的人看到数字后就是个数字，有的人却可以看到其他的对象。比如给你一个车牌，一个号码，有的人会立马想到一些奇希别致的对象，比如这个数是哪几个素数加在一同或若何运算掉落踪掉落踪的等等，这个时辰较着是没有女神的指引。

有的人看到数字此后，比如拉马努金，他的思惟里会飞快地动弹，甚至想到各类拓扑空间之类的。

这就像每小我看到不合的色彩，他们的感应感染都很不不异。感应感染好的人大年夜大年夜约会成了艺术家。

所以我感应感染每小我都往找本身感应感染好的标的方针往展开，在这个局限戮力的话，必定就会做好；而你感应感染不好的时辰，强行往做就会特别很是疾苦。真实这也是欢欣乐乐喜悦爱好地址。

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