李幻想（Lie theory），定名自19世纪的挪威数学家索菲斯·李，是数学和物理学中一个极端次要且普及独霸的幻想，其根柢定见是李群和李代数。这个幻想供给了一个壮除夜的框架，用于描摹对称性和延续变卦，是以在良多科学局限中都有着普及的独霸，包含量子力学、粒子物理、晶体学和机械人学。本文我们将深切参议李幻想的根本定见。

当你在谷歌中搜刮“李幻想”，会展示这张图片，

它使得该幻想看起来比理论上更难。可是，假定你熟谙双数，那么你已碰着了一个例子，那就是那些于模为1的双数，

你的赋性回响多是将这些数字视为 e^(i θ)。

但假定你更深切地思虑，理论上是在这个双数圆上施加了一个坐标琐细，比如，我们可以说这一点是 e^(i * 0.7π)，

这个圆是所谓的李群（Lie group）的一个例子，将在稍后诠释，但一样往常来讲，它可所以更高维的，更难以可视化的。李幻想的精华是，即便在这些宏壮的气候下，也要尽大年夜大年夜约施加一个坐标琐细，使其更随便措置。

让我们略微具体地叙说李幻想，从李群最早。李群同时是两个对象，它是一个群，但也是一个流形。

李群-群

起首让我们体味一下甚么是群，因为它是一个更随便的定见。

群根本上是一组知足某些属性的对象，使它们看起来具有对称性。我们期看对称性知足的第一个属性是封锁性。以正三角形的对称性G为例，我们将 h 展示为沿斜轴的反射对称性，g 展示为沿垂直轴的此外一个反射对称性，那么将 g · h 定义为函数组合，即起首做 h，然后做 g。理论证实，g 和 h 组合是一个改削。下场不次要-次要的是下场还是是一个对称性，是以它还是在 G 中。

但为了使这个公理创建，我们需求对每对 g 和 h 都证实这一点。你可以一一验证这个气候，但屈就定义，对称性是任何贯穿连接对象晃荡的变卦。所以假定 g 和 h 是对称的，它们贯穿连接对象晃荡，那么当然，先做 h 然后做 g 也会贯穿连接对象晃荡，是以也是一个对称性。

对称性还屈就一些其他属性，如“连络律”：

如存在一个恒等元：

末尾，对称性都有一个逆：

假定一组对象知足这4个前提，它就构成一个群。一个对象的对称性天然地构成一个群。假定给定一组数字或矩阵，比如一最早的双数单位圆，搜检该集结可否知足这些属性是很有需求的。在这类气候下，你只需求独霸模数相乘，甚至不须要用欧拉公式，

当然，不单仅是这个圆构成了一个群。改削矩阵的集结，正交或酉矩阵都是群，

假定你对群不太熟谙，我凶悍建议你对这些集结的群公理举办补习。你所需求的只是转置、伴随和行列式的一些其他属性，

总之，群只是李幻想的一部分。李群也是流形，那么甚么是流形呢？让我们经由过程一个例子来邃晓：双数的圆。

这个圆是流形，意思是在它上面的每点，其邻域根本上看起来像一条线，只是变形了。让我们放除夜这一点的邻域。

在圆的气候下，这是一个弧，可以滑腻地变形为直线。

但一样次要的是，这条线也可以滑腻地变回弧。这类双向变形就是我所说的“看起来像一条线”。当然，不单仅是圆上的这一特定点。每个点都有多么的属性，即邻域看起来像一条线。这就是我们称圆为一维流形（1-dimensional manifold）的启事。

可是另有更高维的流形，事理是一样的。

只是任何点的邻域不再看起来像一条线，而是（在这个圆环的气候下）看起来像一个立体。所以，一个圆环的外不雅是一个二维流形。一个更稀少的例子是SO（3），三维的改削。SO（3）看起来像甚么呢？

对三维改削，起次要指明改削轴，然后是绕这个轴的改削角度θ。我们可以将这个特定的改削展示为流形上的一个点，球是一个实心球。球上的照顾点将沿着改削轴的某处。轴上的职位取决于绕这个轴的改削角度。比如，这个轴上的点，从中心向上的θ单位，对应于沿着这个轴的θ改削。至于标的方针，独霸右手端方。所以这个点在中心上方，意味着独霸右手端方的逆时针改削。末尾，我们将改削角限制为π，所以假定你的改削角超出π，那么就朝相反的标的方针改削。

这就是我们可以从若干很多若干上思虑SO（3）的编制，但这是一个相当稀少的若干很多若干图形，因为这两个绝对的点理论上代表了不异的改削：

幻想下场，它们都代表了180度的顺时针或逆时针改削。你可以把这两个点看作是一个相通的门，当你朝一个标的方针改削得愈来愈多，并且超出了π，那么当即经由过程门延续向下行进。

但这不单仅是一对点，球的外不雅上的每个中心都是一个门，只是改削轴不合。

假定听起来很稀少，那切实其实是稀少的，可是，这还是是一个流形，更具体地说是一个三维流形，这可以在更高的维度中切确地可视化，但必须在5维空间中才调做到这一点。总的来讲，一个n维流形意味着全数的邻域都“看起来像”n维空间。

李群同时是群和流形的集团思惟意味着两件事：起首，我们不必把这些SO(n)和SU(n)地道地看作一堆矩阵，我们可以若干很多若干地思虑它们，当然在更高维的改削中，它变得不那么可视化。其次，在这二者的交错口，我们可独霸群论的对象和微分若干很多若干的对象，这是流形的研究，来研究它们。李起首将李群视为流形。

李代数

地球的外不雅是流形的此外一个例子，当然地球的外不雅是曲折勉强的，可是我们可以经由过程施加一个坐标琐细（比如经纬度琐细）来建造一张立体的地图。多么，我们便可以将宏壮的曲折勉强空间转化为更随便措置的立体空间。这是一个将宏壮的若干很多若干对象（如地球外不雅）简化为我们可以更随便措置的对象（如地图）的例子。

李的思惟是近似的。李群是宏壮的曲面流形，一样，我们要创建一个坐标琐细，一个平的空间来措置它，阿谁平的空间就是李代数。让我们用更多的细节声明这一点。在李群是双数圆的气候下，坐标琐细由1（恒等元）处的切线构成。

它的工作事理是将切线向量与圆上的点绝对应，这黑色常天然的。假定向量的长度是θ，那么我们将它对应到李群上1处距离θ的一个点。

理论上，这个向量可以被认为是iθ，

这是因为双数不成是立体上的一点，也可以被认为是从原点到该点的一个向量，

所以向上的向量对应于纯虚数，

是以，这个向上的切线向量可以被认为是iθ。可是我们说，作为一个坐标琐细，切线向量对应于距离恒等元θ的一个点，你晓得这个点是甚么吗？这恰是

这也与更一样往常的李群和李代数的特别很是近似。

起首，有一个李群，我们想找到这个群的恒等元（即1）。一旦完成了这个义务，思虑恒等式处的切空间。这个平的空间是对应的李群的李代数。

李代数作为坐标琐细的工作事理是使切空间（即1处的切线）上的切线向量“包装”在李群上，然后取端点。

这类将切线向量对应到流形上的点的“包装”行动称为指数映照（exponential map）。在这个特定的气候下，向量iθ被包装到李群上的e^(iθ)，所以它理论上是一个指数映照。

但这类指数映照的定见合用于一样往常的流形，而不单仅是李群。

换句话说，即便对一样往常的流形，将切空间上的切线向量映照到流形上的点的行动还是被称为指数映照，志向气候下，我们希看只独霸平的空间，因为它比曲折勉强的对象更随便措置。

这个指数映照，或理论上，其逆映照，或对数映照，将把流形上的一点恢复到平坦空间上的一个切线向量。所以，这是邃晓李群的第一步。把它算作流形，我们想要把李群恢复为李代数，经由过程对数映照，将恒等元处的切空间恢复。

可是，假定我们把李群算作群，会若何呢？群公理陈述我们群元素和点乘应知足哪些前提，

所以我们体恤多么一个群的乘法是若何运算的。

举例来讲，有一个李群，其恒等元用红点展示，对应的李代数，是恒等元处的切空间。中心的红点对应于李群上的恒等元。

让我们思虑一对元素g，h，和它们的乘积g·h。我们可以用对数映照将全数这些点恢复到平坦空间上的切线向量，

该映照将全数这些点恢复到平坦空间上的切线向量。如今，假定只需对应于g和h的这些切线向量，可否不参考李群，就可以断定对应于g·h的切线向量呢？

一个无邪的料想多是

但这些g和h是矩阵，它们的乘法编制与数字不合。

可是，理论上存在一个公式。假定用X展示log g，用Y展示log h，用Z展示log (g·h)，那么Z可以作为无量级数

这看起来令人生畏，但可以分化为两个复杂的独霸：起首，加法或减法。这恰是那些切线向量的加法或减法。其次，这些方括号，被称为李括号（Lie brackets）。如今，你可以将它们视为将两个切线向量变成此外一个切线向量的复杂但特定的独霸。是以，假定我们还晓得李括号，那么就晓得对应于g·h的切线向量。这个公式，称为Baker-Campbell-Hausdorff公式，简称BCH公式，使我们可以无缺在李代数上++群乘法。所以，我们可以只在李代数上运算，而不是在曲折勉强的空间上。

如今，在李群上，群公理陈述我们乘法理应知足甚么，而在李代数上，李括号也会照顾地知足一些性质。

如今，这些性质的细节不次要，但要晓得，这些李括号的性质但凡来自于李群中的乘法性质。辨认这些性质是无缺抛却李群，只存眷李代数的此外一步。是以，当然我们本来想研究李群（因为它是一个更通用的筹划），但我们可以转而研究李代数，因为李代数包含了李群的全数次要信息，并且它是一个更复杂的筹划。如今，除夜除夜都教科书将李代数定义为一个具有知足全数这些性质的李括号的向量空间，但应值得寄看的是，这些李群是这些性质的次要本源。

李幻想图示

这引出这个被认为代表李幻想的图示。

这是甚么呢？假定你传闻过怪兽群（monster group），它们定见是近似的。对怪兽群，我们想要思虑无穷群，无穷集结G，

多么可以定义知足这些公理的乘法。这些无穷群可以分化为不合的构建块，被称为复杂群（*** groups）。

这些复杂群是无穷群的原子，数学家想要对这些构建块举办分类。有良多不合的机制可以产生发火无量多的复杂群。以近似编制产生发火的构建块被回为一个无量族（infinite families）。可是另有良多大年夜大年夜约性，被称为“琐细”群（sporadic groups）。有26或27个，取决于你可否想将个中一个（构建块）筹算在那些无量族中。

特别说一句，这个构建块被称为蒂茨群（Tis group），以法国数学家雅克·蒂茨定名。

这有点切题，因为这些琐细群的明星是怪兽群，到如今为止是最除夜的、最宏壮的琐细群（这26、27个琐细群中的）。这个分类与对李代数的分类近似。近似于群的定义，李代数也有一个知足某些性质的李括号。只用这些性质，我们想要对李代数的构建块举办分类。近似于群的气候，这些复杂李代数有没有穷的族。这不像群，正好只需4个，分袂标为A_n, B_n, C_n和D_n。除这些无量族外，另有正好5个被漏损掉落踪落的，被称为“例外”的李代数，分袂标为E_6、E_7、E_8、F_4和G_2。

E_8是这五个中最宏壮的，是以它在某种程度上是李代数中的怪兽群。这个特定的图片是E_8的图示描摹：

所以，即便想要研究李群，我们也要转而研究李代数，因为全数信息都被保管了，并且它们更随便研究。