数学，作为人类思惟的表达编制，回响了人们积极朝长进步的意志、严密精细的推理和对完竣境界的寻求。它的根本要素是∶逻辑和直不美不雅不雅不雅不雅不雅不雅、分化和构作、一样往常性和浅近性。当然不合的传统可以朴实不合的正面，可是恰是这些彼此对立的实力的彼此感染和它们综合起来的戮力才构成了数学科学的生命、用处和它的崇低价值。

毫无疑问，实够数学的展开在心思上都或多或少地是基于理论的。可是幻想一旦在理论的需求中展示，就不成阻拦地会使它本身掉落踪掉落踪展开的动力，并超出直接合用的局限。这类从独霸科学到幻想科学的展开趋势，不单罕有于古代汗青中，并且在工程师和物理学家为近代数学不竭作出的良多供献中更是层见迭出。

有记实的数学劈脸于东方。除夜约在公元前两千年，巴比伦人就聚积了极端丰富的材料，这些材料往日看来应属于初等代数的局限。至于数学作为现代意义的一门科学，则是迟除夜公元前5除夜公元前4世纪才在希腊展示的。东方和希腊之间的干戈不竭增多（始于波斯帝国时代，至亚历山除夜远征时代则抵达岑岭），使希腊人得以熟谙巴比伦人在数学和地舆学方面的下场，数学很快就被介入到风行于希腊城邦的哲学构和傍边。

是以希腊的思惟家慢慢意想到，在延续、行动、无量除夜这些定见中，和在用已知单位往怀抱肆意一个量的问题中，数学都存在着固有的极除夜艰苦。面对这个挑衅，经由了一番奋损掉落踪落臂身的戮力，产生发火了欧多克斯（Eudoxus）的若干很多若干延续统幻想，这个下场是独一能和两千多年后的现代在理数幻想相媲美的。数学中这类公理回结的趋势劈脸于欧多克斯时代，又在欧几里得（Euclid）的“若干很多若干事理”中得以成熟。

当然希腊数学的幻想化和公理化的偏向不时是它的一个次要特点，并且曾产生发火过宏除夜的影响。可是，我们不克不及过分朴实这一点，因为在古代数学中，独霸和同物理理论的联络正好起了一样次要的感染，并且事前间人们不肯采取欧几里得那样严密的表达编制。

因为较早地创作创造了与“不成公度”的量有关的这些艰苦，使希腊人没能展开早已为东方所掌控的数字筹算的技能。相反，他们却迫使本身钻进了地道公理若干很多若干的丛林傍边。是以科学史上展示了一个稀少的盘曲，这大年夜大年夜约意味着人类丧损掉落踪落了一个很好的机会。几近两千年来，希腊若干很多若干的传统实力推迟了必定会产生发火的数的定见和代数运算的进步，而它们后来构成了近代科学的根本。

经由了一段迟缓的预备，到17世纪，跟着分析若干很多若干与微积分的展开，数学和科学的反动也最早畅旺展开起来。当然希腊的若干很多若干学还是占据次要的职位，可是，希腊人关于公理琐细和琐细推演的思惟在17世纪和18世纪不复展示。从一些幽暗了楚的定义和没有冲突的“较着”公邃晓缆，举办切确的逻辑推理，这对数学科学的新的斥地者来讲似乎是有关紧要的。经由过程毫无羁绊的直不美不雅不雅不雅不雅不雅不雅料想和令人敬佩的推理，再加上荒诞的秘要论和对编制推理的超人实力的科学，他们克服礼服了一个蕴躲着无量财富的数学全国。

到了19世纪，因为数学本身需求结实已有下场，并且人们也希看把它推向更高阶段时不致产生发火问题，就不克不及不回过分来从头审查这新的数学根本，不凡是微积分及其赖以创建的极限制见。是以，19 世纪不单成为一个新的展开时代，并且也以成功地前去到那种切确而严谨的证实为其特点。是以，钟摆又一次向地道性和笼统性的一侧摆往。可是人们可以期看，在地道数学和独霸之间产生发火了这类不幸分袂此后，随之而来的应是一个严密连络的时代。这类从头掉落踪掉落踪的内涵实力，更次要的是因为邃晓愈加了了而抵达熟谙上的极除夜简化，将使得往日有大年夜大年夜约在不忽视独霸的气候上往掌控数学幻想。再一次在纯数学和独霸科学之间创建起无机的连络，在笼统的特点和色采灿艳的赋性之间创建起波动的均衡，这大年夜大年夜约就是数学的次要义务。

那种创作创作创造创作创造的要素，那种起带领和鞭挞感染的直不美不雅不雅不雅不雅不雅不雅要素，当然经常不克不及用复杂的哲学公式来表述，可是它们倒是任何数学下场的中心，即便在最笼统的局限里也是如斯。假定说完竣的回结编制是方针，那么直不美不雅不雅不雅不雅不雅不雅和建构起码也是一种动力。有一种不雅不雅不雅不雅不雅不雅不美不雅不雅不雅不雅念对科学本身是严重的威胁，它断言数学不是此外对象，而只是从定义和公理推导出来的一组结论，而这些定义和命题除必须不冲突以外，可以由数学家屈就他们的意志尽情创作创作创造。假定这个说法是切确的话，数学将不会吸引任何有明智的人。它将成为定义、轨则和回结法的游戏，既没有动力也没无方针。只需在以抵达无机集团为方针的前提下，和在内涵需求的带领下，逍遥的思惟才调作出有科学价值的下场来。

当然逻辑分化的思辨趋势真实不代表全数数学，但它却使我们对数学理论和它们彼其间的依托相干有更深切的邃晓，和对数学中的次要定见有更深切的邃晓，并由此展开了可作为一样往常科学立场的类型的近代数学不雅不雅不雅不雅不雅不雅不美不雅不雅不雅不雅念。

对科学编制来讲，次要的是应抛却带无形而上学性质的要素，而往思虑那些可不美不美不雅察的理论，把它们作为定见和建构的幻想下场本源。

物理学上所掉落踪掉落踪的一些最巨除夜的下场，恰是因为勇于对立“消弭形而上学”这个绳尺的下场。当爱因斯坦试图把“在不合中心同时产生发火的义务”这必定见回结为可不美不美不雅察的气候时，当他认为上述定见必须有它本身的科学意义的决意决意决计只是形而上学的成见时，他已创作创造了他的绝对论的关头地址。当玻尔和他的师长教师们指出，任何物理不美不美不雅察必定伴跟着不美不美不雅察对象对被不美不美不雅察对象的影响这个幻想时，问题变得很了然，在物理上，同时切确地断定一个粒子的职位和速度是不成能的。这个创作创造的深远意义表示在为每个物理学家所熟谙的近代量子力学的幻想中。

在19世纪风行着一种定见，认为机械力和粒子在空间中的行动是逍遥之物，而电、光和磁都理应回结为力学气候或作为力学气候来“诠释”，正如之前措置“热”的编制那样。人们曾假定过“以太”，作为一种假定性的序言物，把它用于那些对我们来讲不克不及无缺加以诠释的行动中，比如光或电。厥祖先们才慢慢地熟谙到以太是必定没法不美不美不雅察到的，它属于形而上学，而不属于物理学。是以乎，在某些方面感应忧虑，而在此外一些方面又感应欣喜的容貌外形下，关于光和电的力学诠释连同以太末尾一齐都被抛却了。

在数学中有些气候与此邻近似，甚至愈加凹陷。生生世世以来，数学家不时把他们研究的对象，比如数、点等，算作实其真实的逍遥之物。可是，切确地描摹这些实体的各类戮力老是被这些实体本身给否定了。从而19世纪的数学家慢慢最早晓得，要问算作实体的这些对象幻想下场是甚么，这是没居心义的，即便有的话也不成能在数学局限内掉落踪掉落踪措置。全数契合它们的结论都不触及这些实体的理论，而只声明数学上“不加定义的对象”之间的彼此关系和它们所屈就的运算律例。至于点、线、数，&34;是甚么，这不成能也不须要在数学科学中加以构和。“可验证”的理论只是筹划和相干∶两点决意不时线，一些数屈就某些轨则构成其他一些数等等。根本的数学定见必须笼统化，这一不雅不雅不雅不雅不雅不雅定见是近代公理化展开中最次要和最丰富的下场之一。

非论对专家来讲，仍是对深化人来讲，独一能答复“甚么是数学”这个问题标，不是哲学而是数学本身的活生生的经验。

摘录自《甚么是数学》