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数学理应若何教？

2023-11-20怎么学18

数学既是切确回结的科学，也是言语严密的艺术，不单难学，并且难教。本文作者如今年已花甲，从教数十年，曾掉落踪掉落踪校级解释注解奖章，他以多年的解释注解经验总结了些许经验，在此与大年夜师分享。

撰文 | 丁玖（美国南密西西频除夜学数学系传授）

我们从小进了黉舍后就最早听教员教数学，真实性急的父母在孩子两、三岁时就教儿女几加几等于几甚至几乘几等于几了，生怕落在别人家的孩子后背。从小学、初中到高中，数学教员教了我们12年的初等数学，假定除夜学进的是理工科院系，数学系的教员屈就挂在我们脖子上的标牌，比如物理或生物或电机，延续传授我们不合圭表类型不合深浅的初级数学。可是理论中普及的气候是，除夜学在读生或卒业生要么吐槽数学教科书参考钞缮得太次，要么抱怨数学正传授副传授教得太差。

当然，假定一个师长教师本身就不好好学，那么就存在将没学好的义务谦让给教材或教员的大年夜大年夜约性，就像美国一部分书念得极差的除夜师长教师在匿名的“教员评价表”中给那些有本国口音的传授或研究生写下的“英文听不懂”的假多真少的考语。

可是，借使假定一名师长教师是个有志青年，极具进修的动力，但捧在手里的是精摹细琢甚至偏向百出的?教材，听的是照本宣科或思惟混乱的教室解释注解，假定不让其吐出“把教科书摔损掉落踪落”或“教员可以休矣”的一声感喟甚至满腔怒火，我们的黉舍就理应关门。

切实其实，太多的师长教师数学没学好或生平恨数学，一个次要启事是教员没教好。是以，根究“数学理应若何教”是每位数学教员不克不及不设法求解的问题，非论他是除夜学传授仍是中小学教员。作为在中国的除夜学教过三学期根本或专业课、在美国的除夜学正式教了近33年书的一名老数学教员，我想分享一下本身对这一问题标熟谙与幻想，同时撒播我见过的几个解释注解名师的不美不美定见与做法。

研究数学老是从公理和假定最早，为了参议“若何教数学”这个论题，我们也假定，所教的数学某一学科的教材是精细的，所教的师长教师也是宁愿赞成学的。假定把好教材算作是布景适中的舞台，把好师长教师视为台下不发出嘘声的志向不美不雅不雅不雅不雅不雅不雅众，那么讲课教员将若何像好演员那么地扮演到位呢？

前提一：热忱似火

美国布朗除夜学的已故独霸数学传授、写过一本巨著《古今数学思惟》的克莱因 (Morris Kline，1908-1992)，对教室解释注解有过一段精华精辟叙说和殷切等待，他的英文原话是：

“I would urge every teacher to become an actor. His classroom technique must be enlivened by every device used in theatre. He can be and should be dramatic where appropriate. He must not only have facts but fire. He can utilize even eccentricities of behavior to stir up human interest. He should not be afraid of humor and should use it freely. Even an irrelevant joke or story perks up the class enormously.”

翻译成中文是：

“我想力劝每位教员成为演员。他必须借助于如剧院用的每种设备来使教室身手赌气盎然。在妥事前他可以也该算作为戏剧性的。他不单有理论，并且有火。他甚至可以独霸近乎怪癖的行动来激起人们的欢欣乐乐喜悦爱好。他不睬应惊怕滑稽，而应将之独霸自如。多么，即就是不相干的笑话或故事也会使教室极除夜地活泼起来。”

数学既是切确回结的科学，也是言语严密的艺术，她不单难学，并且难教。这就引出教好数学的一项需求前提：你必须胸中升起克莱因希看你能杀绝的热忱之火。假定旁边对教书窘蹙火一样往常的热忱，最好不要往当数学教员，以免生平忧伤忧伤；假定你拿到了数学博士学位并极具研究潜质，但不爱教书，那么最好往央求科学院数学研究所或近似研究机构的助理研究员职位，因为那儿何处无需教书，并且国度还会给你不错的薪水。可是，你要记住，不快活喜悦爱好教书的人有相当的概率也不快活喜悦爱好与别人交换，这类习惯有时会降低研究的屈就，因为良多灵感是在饭桌旁、会议会议内或郊游郊游的彼此扳谈中掉落踪掉落踪的。

酷爱教书的人几近都有“除夜嗓门”的特点，他们讲课的声响可以穿透教室的每个角落，即就是耳背的退休白叟，也可以坐在教室的后排旁听，了然地收到年青时因贪玩没能学会的常识。不要低估这个“音响终局”，它是衡量书教得好不好的一个次要方针。我的外祖父在束厄狭隘前教了几十年的书，桃李满全国。我天然无缘进他的教室听讲，但小时辰的我随父母往看看外祖父母时，他清癯的嘴巴发出问我们成语典故的洪亮声响除夜到我只好撤离猬缩猬缩一步。即便在他生命的末尾几天，90岁的他嫌三个下肚的嫩鸡蛋不足劲的呼吁还是那么无力。这就是一个好教员的特点。先母无缺遗传了他的衣钵，从15岁起手执教鞭，不单以板书之美著称，也以声如洪钟存世。

我生平中有幸受教过的几位数学教员，教室中无一不以中气饱满留给师长教师深切印象。我在南京除夜学读除夜一时教我们《线性代数》的林成森教员，他不单中文字发音了然，声调顿挫顿挫，并且新出场的数学定见也诠释得比水晶还管窥蠡测。我曾在一部回想录里写道：“他的课假定听不懂的话，只能要问本身的思惟可否要动个小手术了。”比他讲课还要“尽情扮演”的要算我在密歇根州立除夜学时的博士论文导师李天岩传授了。他无缺有资格充当克莱因传授的“案例”揭穿给读者示范若何教书。他生平中有三分之二的时分是在和病魔作让步，但他在教室里的声调和手势比安康人还安康，一旦讲到关头的定见和奇妙的设法，他会几回朴实好几遍，并且声带的振幅愈来愈除夜，甚至以精力饱满的朴实神志和动感实足的肢体言语助力同窗们的邃晓。那种热忱彭湃，那种感染力度，把坐在那儿何处的全数师长教师都熔化了。面对多么的教书师长教员，学不好才怪呢。

李传授2017年给中国访谒师长教师讲“周期三推出周期四”特例

天然，有的教员并不是生来厌恶教书，却多是生来赋性忸捏，上了讲台就像羞答答的小女人不敢见生人，大胆到甚至不敢面对师长教师，只敢面对黑板与之扳谈，声响轻得大年夜大年夜约第一排才调听了然。这若何办呢？假定她或他赋性酷爱师长教师，也晓得教书的艺术，无缺可以治好这一“非致命偏向”。要晓得即便一些巨除夜的学者，学术交换时也会“牙齿冷噤”甚至声响“细若蚊虫”，有名的一例是日本首位诺贝尔奖掉落踪掉落踪者汤川秀树 (Hideki Yukawa，1907-1981)，他在这方面给人留下的深切印象让爱因斯坦在普林斯顿初级研究院时的同事荷兰裔美国物理学家派斯 (Abraham Pais，1918-2000) 不忘在他的“原枪弹之父传记”《奥本海默的生平》中对这位东方学者记上一笔：“He was a friendly but shy man, as was particularly noticeable when he gave seminars. Not only did he speak softly, but he would also turn his back to the audience and address the blackboard, pure torture for his listeners. （他是一个亲善但害羞的人，这一点在他研究会陈述时尤其较着。不单言语声响小，还背对着听众对着黑板讲话，切实其实就是熬煎听众。）”

阻拦自决意决意决意决计窘蹙讲课声响小的偏向有个好编制，就是效仿除夜街上看到的两人吵架那样鼓足干劲，除夜开嗓门。吵架的人老是感应真谛只在本身一方，是以“义正词严”，分贝天然除夜涨。一样的出处，讲课的教员具有常识，而讲台下的师长教师因为还没有掉落踪掉落踪常识，是以“真谛”还在本身手里，可以想象他们理应“倾耳倾听”，所以也应“义正词严”。有了多么的心思活动，讲课时“胆冷”这个石友只会吓得溜之大年夜大年夜大年夜大年夜吉，声响也就成比例地上扬。

真实，有一部分人，生来就不怕师长教师，属于“生成合安妥教员”那类初级植物。我很早就创作创造本身也是个中一员。1973年晚春，当我还在14周岁的时辰，高中卒业后已无校可念了，只幸而家烧中饭。一天父亲回到家问我，他的黉舍一名数学教员因故离开一个月，需求找一名代课教员，他问我敢不敢教。我事前很想为家挣钱，当即准予。我第一天教的是“球冠的体积”，这个初中班的师长教师岁数几近个个比我除夜，良多人个子也高于我，但我根柢不怕他们，因为我对教材上的数学内容已透辟体味，心中罕有，也遗传性或潜移默化地无师自通若何往解释注解它。家父怕我压不住师长教师，坐在末尾一排，以防不测风云，幻想下场方鸿渐曾在钱钟书的《围城》里被师长教师整得不轻。不过五分钟后，家父已晓得他坐在教室里美尽是弄巧成拙，这是他生平中独一一次听我上课。事前本校一群女教员则在窗口探头探脑猎奇我若何扮演。一个月后，父亲领回了我生平中的第一笔收进——27元朝课费，并陈述我班上师长教师认为我比之前的教员教得好。这一个月也让我感应本身将来假定无机会的话，可以延续家业当个合格的教书匠。

前提二：胸有丘壑，腹有斑斓

这就引出了教好数学的此外一个需求前提：自卑大年夜不该是盲目标自卑大年夜，而是来自于对所解释注解科常识的疏浚融合融合和单方面数会。我生平初度解释注解幻想有此体味。我在出格时代读的中学，在总共四年半的学制中，前四年几近没学到甚么根本常识，只需在1972年秋高中最末学期，不知从何处刮来“经历回潮风”，教员们冲动得除夜刻钢板油印了正轨数理化内容，是以我的数学教员在黑板上画出了椭圆、双曲线和抛物线。那股强风当然没有刮出“恢复高考”，却刮出了我极端乖戾的求知欲，卒业后当即向我父母最机警的师长教师、春节假期从外省还乡投亲时来给我父母拜年的名牌除夜学卒业生高允翔借来60年代初高中18本数理化教材，在三个月的时额定实足读完，出格对初等数学单方面领受，包含我很快就要教到的立体若干很多若干那部分。当然代课停止前我在工厂当过五年工人，但这三个月打下的结壮根本，辅佐我在1977年恢复高考时被南京除夜学数学系落第。

可是，除夜脑里装有学科常识与教好这门学科还不克不及彼此齐截。就像有人“生来就会教书”，也有人当然才当曹斗，却不懂“教书艺术”。后者我在中美读书和教书的糊口糊口中见过一些。满脑学问的人在教书时大年夜大年夜约感应当面的师长教师思惟和他一样灵，领受身手和他一样强，这除夜错特错。“教书学”理应有一条公理：“把师长教师算作‘蠢人’”。多么，教书师长教员就会下时辰做到“将‘蠢人’教懂”，正如李天岩传授生前所言所做的那样。怀抱这个决意决意决计的教员必定不差，他不单细心备课，讲清定见，并且当几天或几周前讲过的老定见回访教室时，不忘再次“温故而知新”，辅佐师长教师“结实已有定见”。

有句鄙谚笼统地说出了对教员的解释注解请求：要给师长教师一杯水，教员就得有一桶水。这一桶水包含邻近学科的常识或更高不雅不雅不雅不雅不雅不雅不美不雅不雅不雅不雅念的视野。比如说，《数学分化》的主讲教员，假定对近代笼统分化知之甚少，甚至都不晓得实变函数或泛函分化的根本内容，大年夜大年夜约难以教得“滴水不漏”，当他教到黎曼积分时，不必定能启发师长教师思虑它的局限或科普更一样往常勒贝格积分的根本思惟。德国数学家克莱因 (Filex Klein，1849-1925) 于1872年提出了有名的埃尔兰根大年夜纲，将不合若干很多若干算作以不合变卦群的某种晃荡性为其特点，这是对连缀几千年的若干很多若干学的一个居高临下的近代不雅不雅不雅不雅不雅不雅不美不雅不雅不雅不雅念。他后来写过一本名著《高不雅不雅不雅不雅不雅不雅不美不雅不雅不雅不雅念下的初等数学》（编注：文末扫码可购得此名著）。假定一名中学数学教员对这本宏构的内容有所体味，就会对解释注解内容有更深切的邃晓，甚至可以率工头上那几个禀赋高想吃小灶的少年铁汉尽早干戈高一层次的数学。

“一桶水”中另有一部分是从“学科史”的小溪中流进的。对数学解释注解，这出格次要，因为向师长教师传输数学思惟的演变和关头数学家的供献，不单丰富了他们对学科的熟谙，并且也把他们置进了数学文明的氛围。这另有一项益处，以讲几分钟故事的编制，让师长教师高度绷紧的神经当令抓紧，进步教室领受的屈就。当然，这对教员提出了请求：读一些好的学科史籍和数学家传记，由此掉落踪掉落踪启发心智的汗青轨迹，随时交错到本身的解释注解中。

假定我们回想回想一下上世纪中叶的除夜学数学教员，他们的一个合营特点是根本功力结壮，根本常识艰深深挚。事前的高校出格正视解释注解，尽除夜除夜都教员把本身宏壮空旷艰深的学科常识热忱地教给师长教师，而不是只热中于本身从事研究工作，因为他们深知只需把下一代教好，就会“后发先至而胜于蓝”，国度更会从中得益，这是真正爱国主义的供献。往日，除夜学教员几近都被请求宣布论文，外不雅上看数据斑斓，带领快活，理论上是丢了西瓜拣了芝麻，“西瓜”壳内的籽是装满教室的莘莘学子，量除夜的“芝麻”是装潢经验的残剩文章。新时代的讲师助教在硕士、博士研究生阶段的操练也除夜都侧重于与各自的研究标的方针相干，而窘蹙相当的广度。下场到如今，当然拿到最高学位时他们经常已宣布了几篇论文，可是他们的常识筹划有点畸形，对身手域以外的数学分支知之甚少，这天然也影响解释注解质量。

数学课里布满了命题，它们以不合的名字出头签字，如定理、引理和推论，但全数的命题都是基于定见的定义，是以要晓得命题的假定和结论，起次要懂命题中展示的全数新老数学定见。仿梵师长教师学好数学最次要的是无缺邃晓定见，教员教好数学最次要的是明理解释定见。写得好的数学书逻辑严密，定见了然，表达严谨，可是为了知足“不说多余的话”这一写作根本请求，它同时也词句精华精辟。这末尾一个特点经常给刚进除夜学初学初级数学的中学卒业生构成艰苦，因为他们还在习惯于灌注灌注灌注式的初等经历。这时辰好教员的感染如“亢旱逢甘霖”，其下场是溯源定见的直觉原点，若干很多若干化分析术语内涵的逻辑相干，善用深化易懂的等价说法复述定见的根本思惟。天然，假定定见斗劲复杂，比如“递增函数”的定义，教起来也不费吹灰之力，师长教师甚至可以无师自通。可是，假定一个定见的定义嵌进了好几个逻辑用词，像“任给”、“存在”及“使得”的组合句子，非禀赋的师长教师大年夜大年夜约读了三遍五遍也大年夜大年夜约没有弄清逻辑相干，那么任课教员若何讲得让全班都能听懂呢？

因为初等微分学黑色数学类理工科师长教师的第一门初级数学课，初级微分学是数学系除夜一更生逃不损掉落踪落的难课，我们看看若何教“函数的极限”这必定见。函数f当自变量x趋势于数a时有极限L，是指对肆意给定的负数ε，存在负数δ，使得只需x减往a的尽对值除夜于0且小于δ，其对应的函数值f(x)减往L的尽对值就小于ε。用数学标识表记标帜，就要找到δ，使得若不等式0 < |x – a| < δ创建，则不等式 |f(x) – L| < ε异常创建。

这个严格的定义是全数微积分的根本，可是太多的除夜学更生刚碰着它时被打得鼻塌嘴歪，包含考进南除夜数学系77级的一部分机警人。可以说，能不克不及把这个定义教得让几近全数同窗感应本身的除夜脑已“改正改正”，是衡量能不克不及成为合格微积分课教员的试金石。

起首，该教员必须对分化数学的根本言语“ε-δ”有深切的融合，对ε-δ言语中的逻辑琐细透辟体味。他理操作若干很多若干的、易懂的中白话语解释注解这个数学言语，而不是照本宣科地将全数极限制义读上几遍。没有从根柢上启发性地叙说定见，即便几回陈述定义十遍，即便师长教师能将它熟记于心，还不克不及担保他们真正邃晓了它。

让我们细心搜检极限的定义，弄清“任给”和“存在”的逻辑含义。没人不会不懂“任给一个外子，存在一个女人岁数比他除夜”的意思，这里只需求找到一个比给定外子年数除夜的女人就够了，而无需找到最老的女人。貌似难解的极限制义本质上理应和上句有一样的逻辑筹划，即负数ε给定后，只需找到担保定义末前一不等式隐含后一不等式的某个负数δ，而无需解出最好的δ，极限的定义就创建。或言之，知足请求的这个δ依托于ε，但它并不是随ε而被独一断定，只需找到一个就够了，而不必辛苦量找到“最优”的，理论上最优的一样往常也难以求得。这就给寻觅δ供给了极除夜的利便，即经由过程对|f(x) – L|的“有效放除夜”使之在|x – a| 小于某

讲完了极限制义后，要想检测同窗们可否真正邃晓了它，教员可以发问他们或坐在第一排的某个师长教师：“函数在一点的极限不存在该若何定义？”即便不筹算叫上一个答复这个问题，师生之间的互动可让教室氛围升温，同时鼓舞师长教师即兴思虑。一个定义不创建时，不合的逻辑连词否定的编制有轨则可循，比如“任给……存在……使得……创建”的后背是“存在……使得任给……不创建”。多么，“函数f在a点的极限不为L”的正式定义是“存在某个负数ε使得对任何负数δ，都有x知足0 < |x – a| < δ，但|f(x) – L| ≥ ε。

上面几段并不是是教室诠释极限制义时必须求讲的“金科玉律”，而是示范若何将较难的数学用易懂的言语讲了了。我们由此看到，对这些定见的具体诠释是对教科书几行字严格定义的二次创作，方针是翻开学心邃晓的阀门，开动思惟思惟的机械。

初级数学里常有一些编制上特别很是宏壮的表达式，触及多种运算。在教科书里，它们是看上往冷冰冰没有赌气的“数学展览品”，一动也不动地供读者参不美不雅不雅不雅不雅不雅不雅。那些禀赋异禀的师长教师可以不靠教员的襄助就可以读出其如火如荼的内涵，咀嚼出津润心脾的浓喷喷喷喷喷鼻甘旨，可是，往日的除夜学是为群众而办的，早已非“精英经历”，尽除夜除夜都同窗智力往常，即就是考进数学系的，这时辰教员的角色也相当于博物馆里的解释注解员。崇高崇高的解释注解员会将一件商朝陶器的里里外外、时代布景和工艺特点讲得愁容可掬、管窥蠡测，参不美不雅不雅不雅不雅不雅不雅者满载而回；而低劣的教员大年夜大年夜约非论三七二十一机械性地将公式从左到右念上一遍，师长教师听得一头雾水。

任何数学表达式的表象总湮没着逻辑相干的前后挨次递次，教科书上一个个标识表记标帜却回响不出这个数学鞭挞的静态过程，而在教室上恢复这个过程只能靠好教员的三寸不烂之舌来完竣完成。复杂来讲，这个表达式的解释注解过程必须肇端于招致该式阿谁数学思路的本源，假定反过往从终局最早教起，就有本末倒置之嫌。理论上，良多公式契合逻辑的解释注解是从表达式的内部最早的，这就像列宁的一句名言所说：“碉堡最随便从内部攻破。”

我用一个略微初级点的数学例子来声明。假定一名动力琐细的好手为他的师长教师开了一门研究生根本课《遍历幻想导引》。这门课中的一个经典下场叫做“伯克霍夫逐点遍历定理”，它的数学结论是一个等式，等式的左端是一个“平均和”的极限表达式，称为“时分平均”：

的频率，或时分平均。

李天岩传授在解释注解的过程中，手嘴并用，说到上文中的某个“部分表达式”，他的手专指阿谁部分，师长教师一边听讲，一边目睹，不分彼此。他将时分平均表达式的演变过程讲得再了然不过了，班上的同窗从他对定见来龙往脉的逻辑梳理，辅之于他那凹凹陷伏的音量调剂、容貌外形丰富的脸部改削、手舞足蹈的肢体扮演，一会儿除夜白了这个长式子“不过如斯”，顺利攻破“时分平均”这块碉堡。