老黄最近连续看了几张2022全国高考数学的卷子，发现有一类统计问题出现的频率很高，那就是K方统计问题。比如新高考I卷和全国文科甲卷都有这个类题的考题，老黄下面分享的这道题，来知全国高考数学文科高考卷。

甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营. 为了解这两家公司长途客车的运行情况. 随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：

(1)根据右表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率;

(2)能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？

分析：(1)问题问的是概率，其实求的是频率。这是用频率估计概率的问题。频率等于频数除以总次数。在甲、乙两城之间，A公司的长途客车总共有260班，其中准点的频数是240次，所以频率是12/13，这就是概率的近似数了。

B公司的长途客车总共有240班，其中准点的频数是210次，所以频率是7/8，概率大约就是7/8。

因为12/13>7/8，所以A公司的长途客车要准时的概率要更高一点。两个真分数，各自的分子分母的差相等时，分母较大的那个分数更大。假分数则反之。

(2)要求事件的独立性，就要运用题目所给的独立性K方公式了。注意看K方的参数表，第一行的0.100，表示独立性约10%，反之相关性就约为90%。而0.050表示独立性约5%，反之相关性就约为95%。所以只要将数据代入K方公式，算出来的结果大于2.706，就有90%的把握认为，是否准点与客车所属公司有关。如果结果小于2.706，就没有90%的把握这样认为。

以a=240, b=20, c=210, d=30. 代入求K方的公式，解得，结果约为3.205>2.706, 因此，结果是有90%的把握认为，甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关的。

解：(1)A准点的概率约为：P(A)=240/(240+20)=12/13;

B准点的概率约为：P(B)=210/(210+30)=7/8.

(2)K^2=(500×(240×30-20×210)^2)/((240+20)(210+30)(240+210)(20+30))≈3.205>2.706

∴有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关.

老黄对这个知识相当感兴趣，曾经用它去统计足球方面的概率。有兴趣的小伙伴们，也可以用它来统计自己感兴趣领域的事情啊。不过现实因素很复杂，只能当一个参考。