当埃菲尔在1889年建造有名的诶菲尔铁塔时，他遴选了72位19 世纪有名的法国科学家，将他们的名字刻在了铁塔上，以示恭敬。最惹人凝睇标有拉格朗日、拉普拉斯与勒让德。你还会创作创造纳维的名字，纳维是事前有名的工程师，曾跟着巨除夜的数学家傅里叶进修过一段时分。1820年前后，纳维最早思虑与流体有关的数学。在1821年到1822年间他创作创造了有名的纳维-斯托克斯方程组。

18世纪上半叶，瑞士数学家丹尼尔·伯努独霸微积分描摹了流体在遭到多个力感染下的行动方程。在伯努利的根本上，欧拉构建了一组方程，可以切确地描述无黏性流体的行动。

1822年，纳维改进了欧拉的方程，使之能合用于有必定程度黏的流体。纳维的数学推导是有所长的。但他末尾得出的方程是切确的。几年此后，爱尔兰数学家斯托克斯作出了切确的推导。一最早，斯托克斯就专注于采取微积分编制来诠释流体的行动。他创作创造了20年前纳维推出的公式（但他的推导过程是切确的）。

在纳维和斯托克斯的工作的根本上，到19世纪末，数学家差一步就要展开出一种关于流体行动的无缺幻想了。只需一个问题尚待措置。没有人可以证实纳维-斯托克斯方程组可否有解。关于流体行动的数学看来极端艰苦。

从聚会到延续

当16世纪和17世纪初的数学家试图写出描摹行星行动的公式时，他们碰着了一个根本的问题。数学的对象本质上是静态的。数、点、线等等，对筹算和测量是精细的，可是仅靠它们是不克不及描摹行动的。为了研究延续行动的物体，数学家必须找到一种编制，把这些静态的对象独霸于静态的行动。17世纪中叶，牛顿和德国的莱布尼茨各自零丁“创作创造”了微积分，让数学进步了一除夜步。

牛顿和莱布尼茨的设法是将延续行动视作是由一系列活动外形构成的。每个活动外形可以用现有的数学身手来分化，艰苦在于若何将全数的活动外形组合起来。要在数学上构成延续行动，牛顿和莱布尼茨必须以无量除夜的速度“放映”这些活动的外形，而每外形只能延续无量短的时分。微积分就是由牛顿和莱布尼茨为奉行这个把无量个外形按按序排好的工作而研究出来的一套身手。

微分学的根本运算是称为微分的过程。微分的方针是得出某些改削量的改削率。为了做到这一点，改削量的值、职位或路途必须由一个安妥的式子给出。然后对这个式子举办微分，产生发火此外一个能给出改削率的式子。是以，微分是把一个式子转换成此外一个式子的过程。

十八世纪，微积分被用于研究像行星那样的固体对象的延续行动，或延续若干很多若干图形的延续改削着的斜率。伯努利试图将这类编制独霸于流体的延续行动（液体或气体）。

对牛顿和莱布尼茨来讲，所分化的延续行动是孤单的、聚会的物体（行星或粒子，或是一个图形或一个曲面的点）的延续行动。可是，在流体的气候下，不单行动，并且物质本身也是延续的。

伯努利独霸续的流体看作由无量紧靠在一同的无量小聚会区域（或“液滴”）所构成的，个中每个区域可以用牛顿和莱布尼茨的编制措置。此外一种编制是，以位于流体中任一特定点为对象（一个无量小点），写出描摹其路途的方程。这就需求掌控两类无量小。

把每个无量小颗粒的行动看作是一系列&34;，这就是研究单个对象的延续行动时所用的标准微积分编制。行动被看作将一系列活动外形按时分列举而构成的序列。在一个“点”所取的路途与此外一个与之无量接近的“点”所循的路途之间，存在着无量小的若干很多若干改削。

顺手的问题是要同时掌控这两类无量小——时分无量小和若干很多若干无量小。这耗往了伯努利成年时代的除夜部分年光。1738年，在他的《流体动力学》（Hydrodynamics）一书中，他宣布了本身的下场。个中关头的思惟是把解取为所谓的向量场。复杂说，向量场是一个含有三个自变量x、y、z的函数，它陈述你流体在个中肆意一点（x，y，z）的行动速度和标的方针。

《流体动力学》中有一个方程，这个方程注解，当流体流过一个外不雅时，这流体感染于外不雅的压强跟着行动速度的增除夜而减小。为甚么这个结论值得一提呢？因为伯努利方程奠定了现代航空幻想的根本，诠释了为甚么飞功用在空中遨游飞翔。

在伯努利工作的根本上，欧拉创建了描摹无摩擦流体在已知力感染下行动外形的方程组，但他没能解出这些方程。纳维和斯托克斯后来改进了欧拉的方程组，使之合用于黏性流体。他们掉落踪掉落踪的方程被称为纳维-斯托克斯方程。

当然这些方程可以在无量薄立体膜流体这一想象的二维气候下解出，但人们却不晓得在三维的气候下可否有解。请寄看，问题标关头不是这个方程的解是甚么，而是这个方程可否有解。

让我们从欧拉的阿谁关于流体行动的方程组说起。这个方程组描摹的是一种在各个标的方针上无量延长的无摩擦流体的行动气候。

我们假定流体中的每点P =（x，y，z）遭到一个随时分改削的力。假定t时辰感染在P点上的力是，

设p（x，y，z，t）为时辰t流体在P点的压强。

时辰t流体在P点的行动可以经由过程给出它在三个坐标轴标的方针上的速度来描摹。令u_x（x，y，z，t）是流体在P点沿x轴标的方针的速度，u_y（x，y，z，t）是流体在P点沿y轴标的方针的速度，u_z（x，y，z，t）是沿z轴标的方针的速度。

我们假定这流体是不成膨胀的，也就是说，当一个力感染于它时，它可以朝某个标的方针行动，可是它不克不及被膨胀，也不会膨胀。这一性质由以下方程表达，

假定我们晓得t =0时的行动外形。并且，这些初始函数假定是良态的（well-behaved）函数。

“良态”是个数学专业术语，可是不影响邃晓方程。不过，“良态”的切确表达与纳维一斯托克斯问题作为千禧艰苦的陈述有关。所以，想措置这个问题标人仍是需求晓得其切确的陈述。

对流体中每点P独霸牛顿定律

力 = 质量×加快度

欧拉掉落踪掉落踪了以下方程，把它们与上述不成膨胀性方程联立起来，便描摹了流体的行动∶

这就是关于流体行动的欧拉方程。为了合用于黏性流体，纳维-斯托克斯引进了一个黏度常数v，它是流体内部摩擦力的量度，并在方程的右边加了一个出格的力——黏力。

x标的方针上，加在方程右边的项是，

y和z标的方针同理。

在这里，标识表记标帜

展示二阶偏导数，它是经由过程起首对u_x求关于x的微分，然后对所得下场再求关于x的微分而掉落踪掉落踪的，即

在y和z的气候中，其定义近似。

欧拉看上往特别很是吓人。数学家也感应感染力不从心。细心不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅查询拜访，可以创作创造，x，y，z标的方针的欧拉方程之间的不合很小，并且添加三个出格的黏度项也是基于不合个改削编制。

在19世纪，数学家创作创造了一种标识表记标帜和一种编制，可以用一种复杂的编制来措置有标的方针的行动。其思惟是引进一类新的量，称为向量。向量则既有大年夜小又有标的方针。独霸向量，数学家可以把纳维-斯托克斯方程写得更抓紧凑∶

这里，f和u是向量函数，标识表记标帜

展示向量微积分的运算。

在求解纳维-斯托克斯方程方面的盼看真实太小，克莱促进会决意设立100万美元的奖金，搜聚对这个问题标任一改削编制的解答。个中最复杂的编制（当然真实不必定是最随便措置的）是说，假定你令感染力函数f_x，f_y和f_z都为零，在这类气候下你能不克不及求出函数p（x，y，z，t）、u_x（x，y，z，t）、u_y（x，y，z，t）和u_z（x，y，z，t），使它们知足方程欧拉方程的改进版（即包含黏度项），并且充分&34;，使得它们看上往能与物理理论契合合？

我要提一下，黏度为零的近似问题（即欧拉方程）也没有措置。

假定把纳维-斯托克斯问题约简到二维的气候（使全数z 项等于零），这个方程可以解出。可是它对解三维气候没有任何辅佐。

无缺的三维问题也可以用一种遭到高度限制的编制解出。已知各类初始前提，总能找到一个负数T，使得这方程对0≤t≤T的全数时分可解。一样往常来讲，数T真实太小了，所以这个解答在理论中真实不是出格有效。数T被称作这个特定琐细的“爆裂”（blowup）时分。