写在前面：

《小王子》的作者安托万·德·圣埃克苏佩里说：如果你要造船，不要招揽人来搬木材，不要给人指派任务和工作，而是要教他们去渴望那广袤的大海。

数学学习也是如此，我们要给予孩子的不是数学知识，而是对数学的好奇和学习灵感。分享三本让我张大嘴巴嘴震惊、一个星期之内读完的数学书，希望也能给你带去启发。

周一 | 思维

全文共4843字，阅读时间13分钟

日常生活里的数学

现在处处都是电子秤了，不知道你是否见过用过这样带秤砣的秤。

（《妈妈教的数学》书里的配图-一杆秤）

物资紧缺的70年代，买东西都得排队，且往往不知道排队的源头处在卖什么，就排上了。等到跟前了发现可能不需要，不买亏得慌，买了回家可能没啥用场。这个图片里的秤就是这么排队买回家的，一杆秤5元钱，占当时一个月工资38元钱的近1/8，在当时是一笔不小的开支呢。

后来它在妈妈的手里不仅有用，还派上了大用场。它的存在引发了孩子对数字和对数学的好奇与探索，培养了孩子对重量的敏感性，让孩子觉得学数学相当于玩游戏。

妈妈极大地发挥了这个杆秤，什么都称，买来的菜、肉、盐、糖、米、面……有一天妈妈称了厨房以外的东西，这个举动让孩子觉得极其好玩，于是他称变了家里所有10斤以下的东西，包括家里喝水的茶杯。

有一次在学校老师办公室里给老师帮忙，眼睛瞄见了桌子上的喝水茶杯，并下意识地走近掂了掂，脱口说1斤6两。老师笑了，有点儿不相信；下午老师把他叫到办公室让他掂另一个杯子，他搁到手里试了一下，说这个差不多9两。老师找来秤一称，还真是，这么准的手感惊住了他的老师。

这个孩子叫做孙路弘，孙路弘老师在2016年写了一本书叫做《妈妈教的数学》。书里通过自己小学时候的日记来回忆小时候的一些数学生活片段，然后总结整理妈妈教的数学。说是数学生活片段，是因为日记几乎都是关于数字的。

（书里一张日记图）

有一天，妈妈看到孙路弘称书包，就拿来一个瓶子，连瓶带水称了一下一共1斤6两。然后，把水倒掉，再称，瓶子重8两，妈妈问刚刚瓶子里的水有多重。借助这个实际的例子，孙路弘知道了十进制，知道了小数点，知道了1斤6两=1.6斤，算出来了水是8两=0.8斤。

孙路弘在学校总背不会乘法口诀，妈妈用手指头教了他2*9……9*9的手指算法：伸出十根手指头，从左到右，弯下第2根，左边有手指1根右边有8根，那么2*9=18；弯下第3根，左边有手指2根右边有7根，那么3*9=27……弯下第9根，左边有手指8根右边有1根，那么9*9=81。

（书里关于9的手指图示）

可能正在阅读的你立马去比划手指了，我也是。边阅读，边比划，边比划边惊诧。

思考创造里的数学

书里的数学例子太精彩了，爱不释手，继续读。

手指头上的乘法口诀妈妈只教了数字9的，妈妈说9最难，其他的让孙路弘自己想办法。这个孩子连吃饭都在掰扯手指头，后来花了一个星期的时间终于研究出来了（这里不告诉读文章的你，要么你也花上一段时间研究研究，要么就买来书读一读）。

读者们读完《妈妈教的数学》不过瘾，孙路弘老师便在第二年也就是2017年又出了第二本《爸爸教的数学》。他说妈妈打开了他对数学世界的好奇，爸爸教的数学则是顺着他的好奇，让他去钻研规律，然后用更加直观的方法发现和验证数学原理，创造自己对数学理解的模式。

爸爸允许孙路弘放弃一家人一起外出的时间，留孙路弘自己在家捣鼓一双军绿色新球鞋的鞋带。一个下午3个小时的时间孙路弘捣鼓了20种不同的穿法，有对称的有不对称的，在穿来穿去的过程中发现并琢磨鞋带的不同编织方式，以及不同编织方式的长度、松紧规律、结实感等。

（《爸爸教的数学》书里的鞋带编织图组合）

孙路弘老师说：

儿童大脑的发展过程有四个阶段：

第一阶段：接受运动性信息，并模仿；

第二阶段：接受规律性信息，并自我解释；

第三阶段：接受结构性信息（就是课本上的知识），并尝试使用；

第四阶段：加工一切信息，并形成见解。

孙路弘的妈妈带他体验了第一阶段，让他接触生活里各种鲜活实际的数字，对数字引发好奇与探索，并进行迁移效仿：

数学老师在课堂上出题：

一个瓶子中有水，连瓶带水共重8斤，倒出了一半的水后称了一下，重4.5斤，那么瓶子是多重？

孙路弘没举手秒答：

倒出了一半的水后重4.5斤，8-4.5=3.5，这3.5斤就是倒掉的那一半水，所以原来的水总共有7斤，连瓶带水共重8斤，那么瓶子当然就是1斤了。

结果被老师留堂，问是不是在哪先学了，实际上就是刚刚上文提到的妈妈在家教他称瓶子时学会的。

孙路弘的爸爸带他走进第二阶段，像研究鞋带一样，通过探究和思考，将“具体”升级为“抽象”，形成自己对“规律”的认识。

有一次孙路弘把家里钥匙弄丢了，在猜测的地方来回翻了很多遍都没有找到。爸爸下班之后，问完了情况，就让孙路弘列出钥匙可能在哪儿及相应的概率。从图里看，钥匙在书包里的可能性最大，爸爸让孙路弘写下来盯着思考一下。

（《爸爸教的数学》书里第一次找钥匙的可能性图）

第一次先去最大可能性的地方去找，没找到。那么第二遍再去找，能找到的可能性是70%*40%=28%。这个时候书包、衣服兜、抽屉三个地方的可能性总和还是100%，那么就需要把28、20、10同比放大到28+20+10=58。那么书包里有钥匙的可能性变成了28/58=48.28%，衣服兜里有钥匙的可能性变成了20/58=34.48%，抽屉里有钥匙的可能性变成了17.24%。还是书包里的可能性更大，第二遍还得去书包里找。

（《爸爸教的数学》书里第二次找钥匙的可能性图）

用爸爸的方法，结果真的在书包里找到了。

前几天我找驾照，也是三个地方：抽屉里、背包里、车里，可能性比例也是70%、20%、10%，因为好久没开过车有印象把本本从车里拿走了。但是我在这三个地方反反复复找了三个来回之后，最终在抽屉里找到了。如果我有书里的思维，可着劲儿在抽屉找，就不用浪费时间来回翻腾了，还平添了很多焦虑，找的过程当中我还打电话咨询如何补办。

看，在探索和思考的过程中，事情的规律和逻辑就是这么被挖掘出来了。与此同时，还能指导日常生活里遇到的问题。

后来孙路弘老师（上边没有加上“老师”的部分，是小时候的故事称呼）上了北京师范大学的数学系，再后来还从事了营销工作、顾问工作等，都用学到的数学知识来输出第四阶段的见解。

从大学辞职跑去K12学校教书的数学家

美国有个数学家，吐槽中小学数学教育不行，然后自己从大学辞职真的去教中小学数学。这个数学家叫洛克哈特，他说学数学应该像学艺术一样，应该像英国数学家哈代说得那样，数学要创造模式，而不单单是背原理然后做题应用。

数学家洛克哈特对数学的理解和孙路弘老师对数学的学习是相互印证的，“公式”基本都是好奇-探索-找到规律-创造模式。

洛克哈特说学数学要在好奇心的基础上有游戏心态，才能顺利收获到数学的愉悦。他在《一个数学家的叹息》里，举出来相当多好玩的数学题目。

其中有一道题目是这样的：以一个长方形的一边为底，以对面边上的任意一点为顶点的三角形的面积，是长方形面积的多少？

我第一反应是三角形面积和长方形面积公式，一个是底乘高除以2，一个是长乘宽，那自然是三角形是长方形面积的一半。可是洛克哈特却用一条辅助线，然后非常直观地看到两对面积相等的三角形。那么选择相邻的组成大三角形，大三角形的面积自然是长方形面积的一半。

（书籍《一个数学家的叹息》中关于三角形买面积问题的图示组合）

还有一个例子，连续奇数相加的和是一个平方数，洛克哈特用一堆石头就观察验证出来了。看下边图的每一个L形就是解释平方数的直观图形。这个求证过程是在当成游戏中收获到的，省去了复杂的推算演绎。最下边一张可视化的图看得清清楚楚，奇数相加是一个正方形，正方形就是一个平方数。

（书籍《一个数学家的叹息》中关于及奇数之和问题的图示组合）

数学是什么？我们应该怎么帮助孩子学数学？

当我瞪大眼睛、饶有兴趣地阅读这三本书里的数学案例时，我也在思考：数学是一门什么样的课呢？

数学家洛克哈特说：

就像绘画、音乐和诗歌一样，数学是一门艺术（差别仅仅在于，我们的文化不认同数学是一门艺术），我们的灵感需要被激发；

数学又与游戏一样，要基于好奇心去探索。

数学上的技巧，就如同艺术里的技巧，应该配合背景而为。伟大的问题、伟大的历史和创意的过程才是伟大的背景。

数学是一个缓慢、沉思的过程，就像产生一个艺术作品需要时间一样。

数学家洛克哈特还说：

数学和任何文学作品一样，都是人类为自己娱乐所创造出来的。

数学不是一种语言，而是一种探索。

数学需要让学生有机会参与--提出自己的问题、自己的猜测与发现、试错、经历创造中的挫折、产生灵感、拼凑整理出他们的解释和证明。

孙路弘老师说：

数学是游戏、是挑战、是好奇；

他对数学的兴趣来源于长时间的想、长时间有人一起讨论。

数学需要步骤和拆解，就像找钥匙那样，通过思考与分步，做到

书写-阶段性输入-再次评估-调整决策-付诸行动：

第一步，把想的事情写下来；

第二步，哪怕想的是一件小事，也写下来，然后继续。

第三步，每完成一个步骤，都重新看一下最初的想法。

孙路弘老师还说：

数学思维的酝酿过程有三个核心特点：慢、要用图形、持续想。

对数学要这么钻研：

第一，遇到题目要画图；

第二，解开后回顾当初卡住的地方，总结心得；

第三，变化题目，演变形式，再玩一次。

对孩子来说数学最大的障碍，是不理解题目中某个语言的意思；数学差就差在对抽象词汇的不理解上。

那么我们要怎么帮助孩子学习数学呢？我悟出来这样几点启发：

首先，面对孩子学数学，我们不要着急。

数学学习需要思考，思考需要时间过程，我们给到孩子足够的时间让孩子去探索，我们要等孩子慢慢开窍，允许他们在过程中认知数学。

其次，我们要让数学连接孩子的生活。

数学像艺术一样需要激发，那么就让孩子在熟悉的生活里找灵感。我家孩子读幼儿园的时候，我们一起玩过拿筷子夹、数花生的游戏。既锻炼手指灵活性，又认识数量。夹不住、偷偷吃掉……都刺激了他的游戏冲动和对数学的兴趣。

然后，我们要积累数学家的故事讲给孩子听。

既然学数学需要历史大背景，同时孩子需要知道规律定理的形成过程， 那么我们就积攒一些数学家的故事，讲给孩子听，让他们知道数学知识的形成过程。让他们同样学会质疑，明白任何学科都是过程性学科。

再有，我们要帮助孩子去理解数学当中抽象词汇的意思。

比如，“两个数相加”、“两个数的和”、“任意数的和”这三个表述就一个比一个抽象，孩子如果不理解就不会做题。像“扩展、相差、同向、相向、相遇……”等高频率出现的词汇，我们要问一问孩子是否明白他们的意思。先读懂题意，才能更好地学习数学。

小结一下，不管是数学家洛克哈特，还是孙路弘老师，他们都认同数学要在过程中和探索中挖掘问题的本源，数学同其他学科一样需要发现、说明和分析。那我们用PBL的通识式思维去认知数学就没错儿。在数学的世界里，我们也需要像玩游戏一样，观察数学数字，做出猜测，寻找证据规律，从过程中理解和认知数学，创造自己的数学思维模式。

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童行书院的课程设计均以PBL（项目制学习）为主要方式，涵盖科学、人文、艺术、社会4大领域，旨在激发孩子的内驱力，培养孩子的批判性思维、成长性思维、社会性思维与创造性思维。

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