在数学中，当一个次要的数学定义已提出，一个次要的数学定理已证实后，工作还远未停止。非论一项数学工作已若何了然了，总另有更多的体味它的余地，最经常独霸的编制之一，就是把它陈述为一个更普及的对象的特例（奉行）。有不合品种的奉行，这里只构和个中的几个。

弱化假定和强化结论

印度禀赋数学家拉马努金创作创造的数字1729很驰名，因为它可以用两种不合编制写成两个正整数的无缺立方的和，就是

并且1729是这类数中最小的一个。让我们试着来考验，可否有一个数可以用四种不合编制写成四个无缺立方之和。

初看起来，这个问题似乎是忧伤令人吃惊，假定真有多么的数，这个数必定是很除夜很除夜，假定想一个数接着一个数地往试，又必定是极端烦复滑稽。那么，有没有甚么机警的编制呢？

答复是必须把假定弱化。我们想措置的问题属于上面的一样往常圭表类型。给出一个正整数序列a_1，a_2，a_3…，并且陈述了我们这个序列具有某赋性质。然后要证实，必定存在一个正整数，使得它可以用十种不合的编制写成这个序列中四项之和。多么思虑问题大年夜大年夜约有一点酬报做作的味了，因为假定了这个序列是&34;，因为这赋性质的序列（比起所谓“具有某赋性质&34;不成交换若干很多若干学"这个词就多么独霸起来了。

多么一种从头陈述往后再奉行的法度圭表类型在数学的良多最次要的盼看中都有。如今看本文的第三个例子∶算术的根本定理。它是数论的基石之一，它指出∶每个正整数都可以独一的编制写成素数之积。可是数论专家总要看扩除夜的数系，在尽除夜除夜都这类数系中，算术的根本定理的较着的近似定理都是不创建的。

可是，有一种天然的编制奉行“数”的定见，使之包含幻想数，多么，便可以在比如刚才所述的那种环内，证实算术的根本定理的一种版本。起首把问题从头陈述以下∶对每个数γ，做全数倍数δγ的集结，个中 δ是环中的元。记此集结为（γ），具有以下的封锁性质∶若α，β都属于（γ），而δ，ε都是此环中之元，则

一个环的具有以上封锁性质的子集结，就称为一个志向。假定一个志向具有（γ）的外形，γ是某个数，则此志向称为一个主办想。可是，存在不是主办想的志向，所以，可以把志向的集结算作是奉行了本来的环的元素的集结。下场是有天然的加法和乘法的定见可以合用于各个志向。此外，定义一个志向为“素”志向也是居心义的，这里，说志向I为素愿向，等于指独一地写I为两个志向J，K之积的编制是J，K中有一个是“单位元”。在这个扩除夜的集结上因子的独一分化定理是创建的。这些定见给了一种特别很是有效的在本来的环中“量度因子分化的独一性定理损掉落踪落效程度”的标尺。

更高的维数和多个变元

我们已看到，当不是只思虑单变元的一个方程，而是思虑良多变元的方程组时、多项式方程的研究会变得宏壮良多。比如偏微分方程，它们可以看作是触及多个变量的微分方程，类型地，分化它们会比分化常微分方程艰苦良多。多变元的多项式方程组和偏微分方程是一种过程的两个值得寄看的例子，这个过程就是从单变元奉行到多变元，产生发火了良多最次要的数学问题和下场，不凡是在20世纪以来。

设有一个触及三个实变量 z，y 和 z 的方程。把三元组（z，y，2）算作孤傲一个对象，而不是三个数的一组，这类设法经常是有效的。此外，这类对象有着天然的诠释∶它代表3维空间的一点。这个若干很多若干诠释是次要的，并且在很除夜程度上有助于声明为甚么把良多定义和定理从一个变元奉行到多个变元如斯滑稽。假定把一项代数的工作从单变元奉行到多变元，便可以认为，这是从1维的布景奉行到高维的布景。这个思惟带领到代数与若干很多若干的良多联络，使得来自一个局限的身手可以用于其他局限。