1、巴别塔即将建成

在《圣经》中有一个故事，传说人类连络起来要建造一个通往地狱的高塔，这就是巴别塔，这个宏伟的筹算令上帝焦炙，是以上帝让人类言语不通，产生发火了各类冲突，甚至于巴别塔胎作古腹中。

不过大胆的人类是不会随便向上帝屈就的，他们又找到了一种新的通用言语来建造新的巴别塔，这类通用言语就是数学，此次巴别塔的总筹划师就是希尔伯特。

1900年8月8日，第二届国际数学家除夜会在法国巴黎召开。

除夜会主席由有名数学家庞加莱担当。庞加莱号称是末尾一名全才数学家，让他一叫惊人的就是对三体问题标叙说，这可是连牛顿欧拉拉格朗日都头疼的问题，他更有名的工作是差一点从爱因斯坦手中抢了广义绝对论的创作创造权，不过他还不是此次除夜会的副角，除夜会的副角是希尔伯特。

希尔伯特被儿女称之为“数学界的亚历山除夜”，想想亚历山除夜的纵横全国的雄风，便可以想见希尔伯特在数学界的职位，他的老友闵可夫斯基是爱因斯坦的教员，他也差一点从爱因斯坦手中抢了广义绝对论的创作创造权。

在除夜会上，希尔伯特做了有名的《数学问题》的演讲，此次演讲就是重建巴别塔的集结号。

第一次数学危殆的一个副产品就是公理化思惟，在此根本上，欧几里得编撰了《若干很多若干本来》，可是公理化思惟并没有深切平易近心，也是以牛顿和莱布尼茨建起了一座危在夙夜迟早的微积分除夜厦，直到魏尔斯特拉斯的极限幻想出世避世才给微积分奠定了波动的根本，随后的实数幻想特别也无缺措置了第一次数学危殆。

痛定思痛此后，希尔伯特筹算用公理化思惟重建巴别塔，在演讲中，他提出了“二十三个问题”，在希尔伯特的筹算中，只需这二十三个问题措置了，巴别塔就指日可待了。

在数学家除夜会召开前的三个多月的4月27日，物理学家们也召开了一次一样的嘉会，物理学家们对将来的感应感染要比数学家们良多若干很多若干良多若干很多若干良多若干很多若干了，在他们看来，巴别塔已建成了。

事前物理学家们认为已看头了宇宙的底蕴，接上往只是把考验考验做的愈加精细一些，数字上在小数点后背再添加几位，不过和游移满志的希尔伯特不合的是，开尔文爵士仍是严谨地指出了如今的问题，就是有名的“两朵乌云”，只是开尔文爵士没有想到的是这两朵乌云却带来了一场暴风雨，少年爱因斯坦就此成为满天星斗中最亮的那一颗。

希尔伯特一样没有想到，他的公理化行动在出发之初就遭到了阻击。

2、第三次数学危殆

古龙说过“同伙就是用来出卖的”，这句话用在弗雷格身上最契合了，就在他的《算术根本》即将完稿之际，他收到了一封信。

弗雷格可以说是这场公理化行动的积极支撑者，只是他并没有象兵士一样往冲击希尔伯特端方的方针，他要从头创建数学的根本，比如甚么是0，为甚么1+1=2。

这不是废话吗？0就是没有啊，1+1=2小师长教师都晓得呀，这不是公理吗？可是公理也大年夜大年夜约错呀，想此刻欧几里得的第五公设不就错了吗？别哪一天人们创作创造1+1≠2不就贫穷了，真要有那么一天的话，全数数学除夜厦可就崩塌了，与其到时辰亡羊补牢，不如斯刻就未雨绸缪。

弗雷格就筹行动算作这个工作，他在《算术根本》一书中从头定义了0.

弗雷格认为全数的空集的集结就是0，空集就是甚么也没有的集结，比如有三只脚四只手的人，很较着没有这类人，这个集结就是空集，假定把全数空集的集结都放在一同作为一个集结呢，这就是1，把全数1的集结都放在一同呢，这天然就是2了，以此类推下往，就有了n+1，多么的话，就定义了天然数，这就是此刻毕达哥拉斯认为不移至理的对象，不过毕达哥拉斯并没有给出天然数的定义，如今有了定义了，声明毕达哥拉斯的幻想异常创建在了严格的数学根本之上了。

同时这浅近例也定义了加法，有了加法当然就有了减法，乘法除法也都出来了，看起来还没有甚么除夜不了的是吗？幻想下场还只是个四则运算嘛，可是不要忘了，数学家们上千年的思虑可不是玩的，他们早就把路展好了。

有了天然数，便可以用毕达哥拉斯的可公度幻想，来定义有理数了，在理数呢？不要焦心，极限幻想展示的时辰，便可以用极限幻想定义在理数了，如今全数数轴都可以严格定义了，不过数轴还只是一条直线呢，傻子都晓得，我们看到的可不是一条直线，i就展示了，i就是双数的根本单位，定义就是√-1，有了i往后，就扩除夜的数的局限，a+bi就把数扩大年夜大年夜大年夜大年夜到了立体空间。

数的问题措置了，数学不是另有一个分支是若干很多若干嘛，有了双数a+bi，笛卡尔的分析若干很多若干便可以和双数一一对应了，至于三维***空间，也不要忧虑，有哈密顿的四元数呀。

多么的话，若干很多若干问题也就措置了，多么的话，数学根本上便可以创建在严格的逻辑根本上了。

就在弗雷格游移满志，感应千秋万载一统江湖的时辰，他接到他的好同伙罗素的来信。

罗素本身也是个传奇，我们都晓得诺贝尔奖没罕有学，传说是诺贝尔被数学家撬了墙角，他就没有设置数学奖项，当然这只是传说，理论上是因为诺贝尔认为数学没有多除夜用，幻想下场造火药会个加减乘除便可以了，非论若何样，回负数学家要掉落踪掉落踪诺贝尔奖是不成能的。

可是罗素就掉落踪掉落踪了，只是他掉落踪掉落踪是诺贝尔文学奖，数学家掉落踪掉落踪文学奖这听起来有点短长，更短长的是他掉落踪掉落踪文学奖的作品，那是一本关于婚姻和人品的书，可罗素本身就是一个除夜渣男，这是不是是更传奇了。

他的风流嘉话就不谈了吧，仍是来看看他是若何背刺同伙的。

弗雷格的《算术根本》中全数的说法都创建在康托尔的集结论根本之上，而罗素指出集结论是有问题标，这就是罗素悖论。

罗素悖论有多种编制，最罕有的就是剪发师悖论，意思是说某个小镇有一个剪发师，他撒播宣传他只给这个小镇中全数不给本身刮脸的人刮脸，可问题就来了，这个剪发师该不该给本身刮脸呢，假定他给本身刮脸，那么他就不是小镇中不给本身刮脸的人，他就不睬应给本身刮脸，他假定不给本身刮脸呢，他就成了不给本身刮脸的人，那么他就该给本身刮脸，多么一来，剪发师既不克不及给本身刮脸又得给本身刮脸，这还没法弄了。

这不就是个刮脸问题吗？爱刮不刮，能咋地？可是对数学家来讲却不是多么，因为这背反了康托尔的集结论。

康托尔的集结论有一个根本绳尺，对肆意一个集结A，A要么是属于本身的元素，记作A∈A，要么不属于本身，记作A∉A，二者必居其一，而罗素悖论中的剪发师既属于给本身刮脸的人又不属于给本身刮脸的人，这就构成了悖论，这就意味着集结论有问题，既然集结论有问题，那么弗雷格的算术根本也就舛错了，照这么算下往的话，数学可就没有严密的逻辑根本了，这就是第三次数学危殆。

危殆来了就得措置呀，可若何措置呀？学第一次危殆的措置编制，把罗素宰了？这必定不成，再说了，宰了罗素也没有效呀，此刻倒是把希帕索斯扔进除夜海里了，可危殆也没有措置呀。

那就尝尝第二次危殆的措置编制吧。可这太难了，大年夜师猜测了半天也没有编制，又不克不及措置提出问题标人也不克不及措置问题，这可若何办呢？总不克不及都象牛顿莱布尼茨一样装胡涂吧。

数学家们搜肠刮肚半天，想了逐浅近例，那就干脆把集结论改了吧，出处就是集结论没有公理化，在公理化的思惟带领下让集结论更完竣起来不便可以了。

思路倒是好思路，可是编制就有些下作了，他们干脆把罗素悖论往除在外，说罗素悖论多么的集结不算集结，这类编制真实和此刻把希帕索斯扔进除夜海没有甚么分辨，当然没有把罗素肉体杀绝，却把罗素的思惟杀绝了。

对人们的这类做法，巨除夜的庞加莱评价道“为了防狼，用篱笆把羊群圈了起来，可是不晓得篱笆里另有没有狼”。

庞加莱这句话特别很是逼真，公理化的集结论并没有措置问题，只是把罗素悖论给轰了出往，这假定哪一天某小我福诚意灵又一次想起了某个悖论，那么是不是是还得在加上一圈篱笆呢？可是可以看出来，庞加莱当然忧虑，但仍是希看这个问题可以措置。

希尔伯特也有一样的希看，在他有名的二十三个问题中，第二个问题就是算术公理琐细的无冲突性，也可以看出来希尔伯特也希看这个问题可以措置。

可是这两位数学王者的希看都被一个年青人打破了，这个年青人就是哥德尔。

3、不机警的禀赋

哥德尔在25岁上就创作创造了哥德尔不无缺定理，他是当之无愧的禀赋，可是我们往常深化的禀赋理应是高斯那样，三岁上便可以指出父亲账目上的偏向了，可哥德尔到六岁上十以内的加减法还会算错，这是不是是有点像我们熟知的此外一名禀赋爱因斯坦，传说爱因斯坦小时辰也不太机警。

哥德尔不单象爱因斯坦，他和爱因斯坦仍是好同伙。

爱因斯坦说过“我本身的工作没甚么意思，我来上班就是为了能有何哥德尔一同信步回家的侥幸”，这可是爱神呀，生平怼天怼地怼玻尔的爱神，是以可知俩人的相干非比往常。

爱神仍是哥德尔介入美国籍的见证人，作为逻辑学家，哥德尔号称能证实美国宪法逻辑会招致***，这事儿真实本身晓得便可以了，关头是他快活喜悦爱好邻近胡说，很有希帕索斯的风仪，在他介入美国籍的时辰，爱因斯坦就不时陈述他切切不克不及瞎扯，可是即就是爱因斯坦也有算错的时辰，在移平易近官面前哥德尔仍是憋不住了，又最早评论美国宪法的问题，不过终局仍是皆除夜欢欣，那是因为爱因斯坦吸引了签证官的寄看力，幻想下场爱因斯坦声明出色，一个小小的签证官往常深化也见不到爱因斯坦，见到了这类除夜名人，天然没有寄看哥德尔除夜放厥词。

就是多么的哥德尔，在1931年哥德尔提出了哥德尔不无缺定理，这让数学家们两千多年来的狡计成了泡影。

传闻希尔伯特传闻哥德尔不无缺定理后勃然除夜怒，因为这意味着他的筹算是不成能的，找来论文后，希尔伯特还是怒火未消，可看完论文后，当即心服口服，当即进手修补本身的筹算。

真实不止希尔伯特，就连哥德尔本身也没有想到，在证了然哥德尔不无缺定理后，他没法想象竟然如斯精练，是以就最早查找文献，看看是不是是祖先已做过这方面的工作，可是他没有找到，他切实其实是始创者。

如今我们来看看幻想下场哥德尔不无缺定理说了甚么，又为甚么这么次要？

哥德尔第必定理说的是“对包含天然数系的任何相容的编制琐细S，S中都有不成剖断数题，从而该琐细是不无缺的”。

看起来一脸懵逼，是吗？这是因为哥德尔用了一些专业术语，我们把专业术语诠释一下就看除夜白了。

先说甚么叫编制琐细，真实就是后面所说的公理化琐细，公理化琐细包含三赋性质，分袂是相容性、自力性和无缺性。

相容性是说禁尽予从公理性琐细中推导出冲突来，反过往讲就是公理化琐细中没有冲突。

自力性是说每个公理不克不及由此外公理推导出来，这个很好邃晓，假定某一个公理可以从此外公理推导出来，那么这个公理就是定理了。

无缺性是说该琐细中每个命题都能剖断真伪。

体味了这些专业术语，再来看看哥德尔第必定理，说白了就是对一个公理化琐细，相容性和无缺性不成能同时知足，再说除夜白点就是一个没有冲突的公理化琐细，个中必定有一个命题没法剖断真伪。

我们举个例子吧。

比如哥德***料想黎曼料想，到如今为止都没有编制证实，并且有大年夜大年夜约永远没法证实，这就是公理化琐细中有一个命题没法剖断其真伪，寄看了，是没法剖断其真伪，真实不是说哥德***料想黎曼料想是错的，假准时错的话，真实就已剖断了真伪，复杂来讲可证实的不必定是真命题，真命题不必定可证实。

感遭到恐怖了吗？假定还没有的话，再看看第二定理。

哥德尔第二定理说的是对包含天然数系的任何相容琐细S，其相容性是没法剖断的。

第必定理说的仍是相容性和无缺性不成兼得，第二定理更是了了的说出了相容性都不成剖断的，就是说任何一集琐细都能推导出冲突，而公理化琐细请求就是相容性无缺性和自力性，如今这几条都没法知足，公理化的除夜厦在瞬时崩塌。

4、数学的将来

非论物理学也好化学也好生物学也好，都有过除夜厦崩塌的时辰，不过只需从头打好根本，除夜厦便可以恢复，可公理化根本崩塌此后，意味着数学也要鼓起了。

在毕达哥拉斯的年代就认为数学是居高临下的皇帝，此内科学都只是皇帝陛下脚下的诸王，皇帝对诸王有生杀予夺之权，其按照的就是公理化事理。

此内科学都是在考验考验的根本之上研究，假定幻想不契合考验考验下场，那么幻想就是所长的，就需求从头改削幻想，而数学是创建在公理的根本上，经由过程逻辑推理来创建，是根柢不须要考验考验验证的，如今公理化思惟已被证实是所长的了，那么数学的皇冠也该摘损掉落踪落了。

这才是真实的数学危殆。

不过数学危殆莅临，真实不代表数学的鼓起，就像摘损掉落踪落了皇冠剥夺了龙袍的末代皇帝一样，并没有剖断皇帝逝世刑，只需放下皇帝的架子，用本身的双手往辛苦憩息，仍是可感应社会做供献的。

数学也是一样，只需和此内科学一样，用考验考验往验证本身，大胆地发掘宇宙的奇妙，那么数学仍是诸王之王。