问题

设k是一个正整数，设S是奇数素数的无穷集结。证实最多有一种编制（改削和翻折后重合的算一种）将S的元素放置在圆上，使得肆意两个相邻元素的乘积对某个正整数x的编制为x^2+ x + k。

这是2022年国际数学奥林匹克比赛（IMO）第一天的末尾一道题，也是第一天3道题中最难的一道。

69%的介入者在这个问题上掉落踪掉落踪0分（满分7分）。只需不到5%的介入者掉落踪掉落踪了全数7分。思虑到每个IMO介入者都是来自各个国度的前6的高中数学家之一，这道题的难度可想而知。

问题陈述很冗长，绝对随便邃晓。在深切研究之前，我们先从一个复杂的问题进手。

圆中的3质数研究

思虑S包含3个质数。如今，不思虑改削和反射，将肆意3个数字列举到一个圆中只需一种编制。当然如斯，3个质数的气候还是包含了良多对这个问题相当次要的不雅不雅不雅不雅不雅不雅定见。

下图展示了3个奇数素数集结S：{3,5,7}，{3,5,11}和{3,5,13}。

奇素数（蓝色）及其乘积（橙色）

上面的3个例子包含最小的奇素数3和5。这很随便研究，因为乘积15的编制是x^2+ x + k对某个正整数x，只需几种气候：

x = 1，k = 13x = 2，k = 9x = 3，k = 3

x的任何较除夜值都使得x^2+x＞15，那么k为负（但k是正整数）。

从集结S ={3,5,7}最早，我们想找出当k = 13, k = 9或k = 3时，剩下的乘积21和35可否可以展示为x^2+x+k。

绘制一个小表格来考验全数的大年夜大年夜约性，我们创作创造没有一个k值合用于集结S ={3,5,7}

特别说一句，假定准予x = 0，那么k = 15便可以。

可是对集结S ={3,5,11}，我们创作创造k = 13便可以了。全数3个乘积15、33、55都可以展示为x^2+x+13。

对集结S ={3,5,13}，全数3个乘积15，39和65都可以展示为x^2+ x + 9。

这似乎很令人诧异，因为右边两列的独一合营数字也是第一列的3个数字之一。

我想考验考验一组3个略除夜的质数：S ={5,13,23}，它们的两两乘积分袂是65、115和299。

一样，有一个独一的k值使得全数3个乘积都可以展示为x^2+x+k。可以创作创造，

最除夜的质数（23）老是比最除夜的两个x（15和7）的和除夜1，并且两个最除夜的x值之差等于两个较小的质数之差。

比如，不才面的表中，对S ={5,13,23}，最除夜的两个x值是7和15。我们可以看到7+15+1 = 23，15−7 = 13−5。

这些不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅不雅查询拜访算作果使我们可以证实k对3素数集结的独一性，并用数学回纳法来证实任何集结S的独一性。

数学回纳法的证实

这个设法是为了证实对有（n+1）个素数的集结S的任何契合的列举，往除最除夜的素数p给出了一个契合（且独一的）n个素数集结的列举。此外，只需一对证数q, r可以放在p的旁边。加上3个质数的根本气候，这足以担保S的列举必须是独一的。

我们将证实假定pq和pr都可以展示为x^+x+k，那么可以得出qr也必定可以展示为x^2+x+k（对不异的k）。

设p为3质数中最除夜的，不是一样往常性的，p > q > r。

我们可以令pq = a^2+ a+ k，pr = b^2+ b+ k。

然后是减法：

所以(a - b)或(a + b + 1)必须能被质数p整除，但因为a和b都小于p，所以它不成能是(a - b)。

此外，因为a + b + 1 < 2p，不单(a + b + 1)能被p整除，并且它必须相当，所以p = a + b + 1。

如今要证实qr也必须有x^2+x+k的编制。

因为p(q - r) = (a - b) (a + b + 1)和p = a + b + 1，所以

从头列举得

设这个合同差为d：

那么

寄看，a和b对给定的q和r是结实的，这意味着它们是独一的，是以k是独一的。

又：p = a + b + 1，

是以：p = q + r + 2d + 1

将这些表达式代进方程pq = a^2+ a+ k，掉落踪掉落踪

得证，就这么复杂。