最艰深的数学研究的全数下场，幻想下场都必定可以展示成整数性质的复杂编制。——利奥波德·克罗内克

可以恰到益处地被称为企业家的专业数学家是极端罕有的，利奥波德·克罗内克（Leopold Kronecker）无疑算是一个，他在30岁时已财富逍遥，从而可以把本身出格的禀赋献给数学。

1823年12月7日，克罗内克出世于普鲁士的利格尼茨。克罗内克从小就默示出出色的酬酢身手，并且能和对他有辅佐的人结下艰深深石友情，这是他能成为一个成功的企业家的关头要素，也是他最忧伤的财富。

在黉舍，克罗内克全数的学科都很精细，他对希腊和拉丁古典文学很感欢欣乐乐喜悦爱好，并且在希伯来语、哲学和数学方面也很超卓。他的数学才调很早就在库默尔的带领下显闪现来。库默尔是德国汗青上最有开创性的数学家之一。当然克罗内克具有出格的数学才调，但他并没有花良多精力在数学上。他还选修了音乐课，并且成了一名有下场的钢琴家和称道家。他撒播宣传，音乐是全数艺术中最好的艺术。

克罗内克在1841年春进了柏林除夜学，延续他的多方面的经历，但专注于数学。事前柏林除夜学的数学系有狄利克雷、雅可比和施泰纳等数学大年夜师。爱森斯坦也在柏林除夜学，他和克罗内克同岁，两人成了同伙。狄利克雷对克罗内克的分化学及数论产生发火很除夜影响。雅可比使他爱上了椭圆函数，他以惊人的开创性展开了这一局限（主假定把椭圆函数独霸在数论上）。克罗内克在除夜学深切地研究哲学，不凡是黑格尔琐细。有些人大年夜大年夜约会从黑格尔的辩证法中寻觅克罗内克的数学劈脸。

1845年，克罗内克递交了他的博士论文，这篇论文遭到库默尔在数论方面工作的启发，叙说某些代数数域中的单位元素。要展示出单位元素是极端艰苦的，可是我们可以从上面对单位元素的一样往常问题标除夜致描摹中，邃晓这个问题标性质。

深化整数（1,2,3）称为（正）有理整数。假定m是任何有理整数，它就是一个一次代数方程的根，这个方程的系数是有理整数，即x-m=0。这启发我们独霸代数方程来奉行整数的定见，假定r是方程

的一个根，个中每个a都黑色零有理整数，并且r不是低于n次方程的根，那么r就称为n次的代数整数。比如，

是一个2次代数整数，因为它是x^2-2x＋6=0的根，并且不是任何有指定圭表类型系数的、低于2次的方程的根。大年夜大年夜约有人会说，

但1+√-5不是有理整数。

假定首项系数是任何有理整数（零除外），那么该方程的根就称为n次代数数。多么，

就是一个2次的代数数，但不是一个代数整数；它是2x^2-2x＋3=0的根。

如今要引见此外一个定见，即n次代数数域的定见∶

假定r是一个n次代数数，那么实足能从r经由几回加、减、乘、除构造出来的全数表达式，称作由r生成的代数数域，可以用F[r]展示。这个F[r]的次数是n。

可以证实，F[r]的每个数都具有以下编制：

个中c都是有理数，并且F[r]的每个数仍是一个次数不除夜于n的代数数。F[r]中的一些（但不是全数）代数数是代数整数。

代数数幻想的中心问题，是研究在n次代数数域中代数整数的算术可除性规律。甚么是“算术可除性”？

我们晓得，一个有理整数m可以用此外一个有理整数d除，假定我们能找到一个有理整数q，使得m=q×d；d和q就称作m的一个因子。比如6是12的因子，因为12=2×6；5不是12的因子，因为不存在一个有理整数q使12=q×5。

一个有理素数是一个除夜于1的有理整数，它独一的正因子是1和该整数本身。当我们试着把这个定义奉行到代数整数时，我们必须找到有理素数的某赋性质，使之可以转移到代数整数上往。这赋性质以下∶假定一个有理素数p整除两个有理整数的乘积a×b，那么可以证实，p起码整除该乘积的因子（a，b）中的一个。

思虑有理算术的单位元素1，我们寄看到1有一个出格的性质，即它整除每个有理整数；-1也有一样的性质，1和-1是独一有这赋性质的有理整数。

是以，我们端方上面的定义，作为代数整数的算术可除性幻想的根本。我们假定所思虑的实足整数都在一个n次代数数域中。

假定r，s，t是代数整数，使得r=s×t，那么s，t都称为r的一个因子。

假定j是一个代数整数，它整除这个数域中的每个代数整数，j就称为（该域中的）一个单位元素。一个已知的域可以包含无量多个单位元素，这与有理数域中只需一对单位元素1，-1不合，而这就是产生发火艰苦的启事之一。

上面要引见有理整数与次数除夜于1的代数整数之间的一个根本的分辨。

一个不合于单位元素的代数整数，若其独一的因子是单位元素和该整数本身，则称其为不成约的。一个具有以下性质的不成约的代数整数称为素代数整数∶假定它整除两个代数整数之积，那么它起码整除这两个因子之一。全数素数都是不成约的，可是在某些代数数域中，真实不是全数不成约的数都是素数。在深化算术中，不成约数和素数是一样的。

算术的根本定理是∶一个有理整数是素数以独一的编制相乘的乘积。从这个定理中产生发火了有理整数可除性的全数幻想。但这个根本定理真实舛错实足次数除夜于1 的代数数域创建。

举一个例子，在域F[√-5]中，我们有

2，3，1＋√-5，1-√-5在这个域中都是素数，是以在这个域中，6不是独一地分化成素数的乘积。

克罗内克用一个奇妙的编制阻拦了这个艰苦，可是这浅近例太宏壮，没法深化地诠释。

克罗内克在他1845年的论文中，进手措置某些出格的域中的单位元素幻想，这些域是从高斯问题中产生发火的，高斯问题是将一个圆周分红n等分。在试图证实费马除夜定理的戮力中，数论家们采取了貌似天然的一步，把右边的x^n+y^n分化成n个一次的因子，这招致了对代数数域的详实研究。

柯西也在研究这个问题，但他想象在所论及的代数数域中算术根本定理必定创建，认为这是不移至理的事。但理论是，有关域中的那些“整数”，它们不平就算术根本定理；那若何使它们屈就呢？

为体味决这个问题，库默尔和感恩金前后提出和展开了“幻想数”的定见。幻想数与非欧若干很多若干的创作创作创造并列为19 世纪最凹陷科学下场之一，并且在有史以来的重除夜数学下场中占据很高的职位。一最早，“幻想数”不是为实足代数数域构造的，而是只为从圆的豆割中产生发火的那些域构造的。

库默尔也曾和柯西一样，认为一些代数数域中的负数也屈就算术根本定理。是以，他一度认为他证了然费马的除夜定理。库默尔的此次损掉落踪落败是在数学的一除夜幸事。似乎阿贝尔在一样往常五次方程问题上一最早犯的偏向一样，库默尔的偏向使他转向了切确的路途，从而创作创造了他的“幻想数”。

库默尔、克罗内克和感恩金在创建代数数的现代办代办署幻想中，无量扩除夜算术的局限，和把代数方程纳进数的局限以内，他们对初级算术和代数方程幻想所做的工作，相当于高斯、罗巴切夫斯基、鲍耶和黎曼对若干很多若干所做的事（极除夜扩大年夜大年夜大年夜大年夜了欧式若干很多若干）。正如非欧若干很多若干的创作创造者们为若干很多若干和物理科学揭穿了坦荡宽大年夜大年夜奔放宽除夜广大年夜奔放的、从未想到过的视野一样，代数数幻想的创作创作创造者们揭穿了全新的不雅不雅不雅不雅不雅不雅不美不雅不雅不雅不雅念，照亮了全数算术，使方程幻想、代数曲线和曲面的琐细幻想，和数本身的真正性质，在一些极端复杂的公设的布景上变得极端较着。

“志向”的创作创作创造（感恩金从库默尔的“幻想数”中掉落踪掉落踪的灵感）不单更始了算术，并且也更始了从代数方程和代数方程组幻想中产生发火的全数代数。

克罗内克在1845年22岁时，以有名的论文《论复单位元素》进进了代数数这个极端艰苦的局限。他构和的那些出格的单位元素，是高斯n等分圆周的问题所产生发火的代数数域中的单位元素。因为这项工作，他掉落踪掉落踪了博士学位。克罗内克奇不雅不雅的顶点是他对魏尔斯特拉斯的经久的数学论争，在这场论争中，单方既没有给以饶恕，也没有要告饶恕。一方是生成的代数学家，此外一方齐心专心寻求的是分化。

克罗内克有一个从事银行营业的舅父。他的舅父还掌管着很除夜的农业企业。舅父作古后，这实足都由年青的克罗内克经手治理。1845年到1853年，克罗内克都在运营地产和贸易上，他做得特别很是超卓，赚取了良多的财富。为了有效地治理地产，他甚至精晓了农业。

克罗内克在经商的8年时代，没有做出任何数学下场，可是他在1853 年宣布的一篇关于方程的代数解的次要论文，注解他没有在数学上停不前。从商时代，克罗内克不时与之前的教员库默尔贯穿连接通信，他在1853年从营业中脱节出交往后，访谒了巴黎，在那儿何处交友了埃尔米特和其他一流的法国数学家。

1853年，当克罗内克宣布关于方程的代数可解性的论文时，只需很少几小我晓得伽罗瓦的方程幻想。克罗内克已掌控了伽罗瓦幻想，理论上，他大年夜大年夜约是事前独一深切洞察了伽罗瓦思惟的数学家。在克罗内克关于伽罗瓦幻想的著作出版往后，这一学科从只为几小我公有，变成了全数代数学家的群众财富。

1858年，克罗内克宣布了他有名的《关于一样往常五次方程的解》（埃尔米特同年独霸椭圆（模）函数给了第一个解）。克罗内克经由过程把伽罗瓦的思惟用于这个问题，得出了埃尔米特的解。在1861年的一篇文章中，克罗内克论证了“寻觅一样往常五次方程为甚么可以用所用的编制求解”，多么就迈出了超出阿贝尔的一步，阿贝尔措置了&34;的可解性问题。

克罗内克用他独有的编制，把他最感欢欣乐乐喜悦爱好的三个部分——数论、方程论和椭圆函数——编织成一个斑斓的编制，在这个别例中，料想不到的对称性被揭穿了出来。克罗内克不知足于把这个秘要的不合仅仅作为一种秘要的对象领受上往，他寻觅并在高斯的双二次型幻想中找到了它的根本筹划，高斯幻想中的次要问题是研究两个未知量的二次不定方程的整数解。

克罗内克1891年12月29日因患支气管炎弃世，长年69岁。